Метод областей 1 страница

3. Решите уравнение .

Решение. На плоскости построим множество точек, удовлетворяющих исходному уравнению.

Для построения множества точек проделаем следующее.

1. Приравняем нулю выражения, стоящие под знаком модуля: и . Откуда следует: и .

На плоскости построим прямые и . Эти прямые разобьют плоскость на 4 области.

2. Рассмотрим исходное уравнение в каждой области. Для этого надо раскрыть модули в каждой области.

Замечание. При раскрытии модулей надо учитывать знак выражения, стоящего под модулем в соответствующей области. Так как знак в каждой области постоянный, то знак выражения в области совпадает со знаком выражения в любой точке этой области.

1) В области I исходное уравнение равносильно системе

В области I строим часть прямой , которая параллельна прямой и пересекает прямую в точке А(–1; 3,5).

2) В области II исходное уравнение равносильно системе

В области II строим часть прямой , которая параллельна оси абсцисс и пересекает прямые и соответственно в точках А(–1; 3,5) и В(–3,5; 3,5).

3) В области III исходное уравнение равносильно системе

В области III строим часть прямой , которая параллельна оси ординат и пересекает прямую в точке В(–3,5; 3,5).

4) В области IV исходное уравнение равносильно системе

Ни одна точка не удовлетворяет последней системе.

График исходного уравнения изображён на рисунке 9 (графиком исходного уравнения является совокупность части прямых: , , ). Для того чтобы найти решения исходного уравнения при каждом значении параметра , надо провести прямые (если прямая пересекает график исходного уравнения в n точках,тоисходное уравнение при имеет n решений) и найти абсциссы точек пересечения графиков исходного уравнения и прямой . Из рисунка 9 следует ответ.

Ответ. При уравнение не имеет решений; при решением уравнении являются (уравнение имеет бесконечное множество решений); при уравнение имеет два решения ,

4. Сколько решений в зависимости от параметра а имеетуравнение на отрезке ?

Метод интервалов.

Решение.1. Если то уравнение на отрезке не имеет решений, так как оно принимает вид

2. Пусть

Имеем .

Замечание. Если пара удовлетворяет уравнению, то и пара также удовлетворяет этому уравнению.

Из замечания и 1. следует: уравнение надо рассмотреть при

Если , то исходное уравнение равносильно уравнению

, где и (4.1)

Раскрывая модули, на отрезке заменим уравнение (4.1) равносильной совокупностью уравнений

2) Рассмотрим первое уравнение совокупности (4.2), если

Так как то , а тогда

Решением уравнения (4.1), а значит и исходного уравнения, на отрезке является , если

Итак, если , то является решением уравнения (4.1), а значит и исходного уравнения на отрезке .

3) Рассмотрим второе уравнение совокупности (4.2), если

а) Если то легко проверить, что уравнение , а значит и исходное уравнение, не имеет решений.

б) Пусть Тогда

Решением уравнения (4.1), а значит и исходного уравнения, на

промежутке при является , если

Итак, если , то является решением уравнения (4.1), а значит и исходного уравнения на промежутке .

Из 1. и 2. с учётом замечания следует ответ.

Ответ. Если , то нет решений; если , то одно решение; если , то два решения.

Метод областей.

Решение. На плоскости построим множество точек, удовлетворяющих уравнению

, где и (4.3).

Уравнение (4.3) равносильно совокупности (см. первый метод)

(4.2)

Легко проверить, что не удовлетворяет исходному уравнению. Поэтому рассмотрим первое уравнение совокупности (4.2) при . Имеем

На отрезке строим часть гиперболы , асимптотой которой является прямая . Гипербола пересекает прямую в точке А .2. Второе уравнение совокупности (4.2) равносильно системе

На промежутке строим часть гиперболы , асимптотой которой является прямая . Гипербола пересекает пря-

мую в точке В .

График уравнения (4.3) изображён на рисунке 10.

Из рисунка 10 для и замечания следует ответ.

Ответ. Если , то нет решений; если , то одно решение; если , то два решения.

Графический метод.

Решение. Если , то исходное уравнение равносильно уравнению (4.3)

Рассмотрим функции , где и .

1. Графиком функции , где , является часть прямой, проходящей через точки А(–3; 2) и В(5; 10).

2. Графиком семейства функций является «подвижный уголок» с неподвижной вершиной в точке С(–1; 0) и подвижными сторонами

3. Найдём при каких значениях параметра а график функции проходит через точку А(–3; 2) и определим сколько решений имеет исходное уравнение в этом случае.

а) График функции проходит через точку А(–3; 2), если

б) Если , то функция принимает вид и на отрезке имеем

в) Так как прямая параллельна прямой , а прямая пересекает прямую в точке А(–3; 2), то график функции на отрезке пересекает прямую в одной точке А(–3; 2) (рис.11). Тогда исходное уравнение при имеет единственное решение.

4. Найдём при каких значениях параметра а график функции

проходит через точку В (5; 10) и определим сколько решений имеет исходное уравнение в этом случае.

а) График функции проходит через точку В (5; 10), если

б) Если , то функция принимает вид и на отрезке имеем

в) Точку пересечения прямых , , где найдём из системы

Прямые , пересекаются на отрезке в точке С(–2,5; 2,5).

г) Точку пересечения прямых и , где найдём из системы

Прямые , на промежутке пересекаются в точке В(5; 10).

д) График функции на отрезке пересекает прямую в двух точках: В(5; 10), С(–2,5; 2,5) (рис.11).

Исходное уравнение при имеет два решения.

Из рисунка (рис.11) для и замечания следует ответ.

Ответ. Если , то нет решений; если , то одно решение; если , то два решения.

Замечание. Графический метод даёт наглядную интерпретацию решения задачи. С помощью этого метода может быть получен ответ наглядно и быстро, но очень часто только графическая интерпретация оказывается недостаточной и для полного обоснования требуются дополнительные исследования.

5. При каких значениях параметра уравнение имеет единственный корень; имеет два корня; не имеет корней?

Решение. 1. Рассмотрим функции где . Построим графики функций и при (областью определения функции является интервал ).

Графиком функции , где является «уголок» с вершиной в точке А(2; 1) и сторонами

Функция для каждого значения параметра а задаёт семейство логарифмических функций,проходящих через точку В(1; 0).

На рисунке 12 а) изображён график функции , где а на рисунке 12 б) изображён график функции , если , при некоторых значениях параметра .

2. Если график функции проходит через точку А(2; 1), то он может пересекать график функции в одной точке А(2; 1) или в двух точках (одна из этих точек А(2; 1)). В этом случае исходное уравнение имеет одно или два корня.

График функции проходит через точку А(2; 1), если

При исходное уравнение принимает вид

(5.1)

3. Уравнение (5.1) равносильно совокупности уравнений

(5.2)

1) Рассмотрим первое уравнение совокупности (5.2).

Так как функция убывает, а функция возрастает, то графики функций пересекаются только в одной точке – это точка (2; 1), а тогда уравнение (5.1) при , а значит и исходное уравнение при и , имеет единственный корень: .

2) Рассмотрим второе уравнение совокупности (5.2).

Найдём число точек пересечений графиков функций при

Рассмотрим функцию

Найдём промежутки монотонности функции .

а) Найдём производную функции . Имеем

б) Определим знак если

Так как , то . Так как функция убывает, если то , а тогда

Таким образом, если . Тогда функция возрастает на интервале

Так как и функция возрастает на интервале , то

(5.3)

Из системы (5.3) следует: графики функций и

не пересекаются при . Это означает, что уравнение (5.1) при , а значит и исходное уравнение при и не имеет корней.

Из 1) и 2) следует, что уравнение (5.1), а значит и исходное при , имеет единственный корень.

4. Построим графики функций и при и . Для этого воспользуемся следующим: так как то найдётся такое значение что для всех выполняется неравенство

На рисунке 12 в) изображены графики функций

если и .