Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є

Метод власних функцій

А) Метод Фур’є.

Крайові задачі для рівняння Лапласа у випадку прямокутних областей розв’язуються за допомогою методу відокремлення змінних (методу Фур’є) аналоґічно до змішаних задач для рівнянь гіперболічного та параболічного типів.

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

ПРИКЛАД 1.Знайти розподіл потенціалу Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru електростатичного поля всередині прямо-кутника ОАСВ зі сторонами ОА=а, ОВ=b (див. малюнок), якщо уздовж сторони ОВ потенціал розподілений згідно закону Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru де

- 45 -

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru а три інші сторони заземлені. Електричні заряди всередині прямокутника відсутні.

Розв’язання. Складаємо математичну модель задачі:

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Шукаючи розв’язок цієї задачі методом відокремлення змінних (крайові умови є узгодженими) у вигляді Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru з рівняння Лапласа будемо мати

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

звідки одержимо диференціальне рівняння для функції Х(х)

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

а з урахуванням однорідних крайових умов на сторонах ОА та ВС – задачу Штурма-Ліувілля для функції Y(y):

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Розв’язавши останню задачу, одержимо:

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

(для визначеності можна покласти Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru ). Підставимо знайдені власні значення Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru у рівняння для функції Х(х). Загальний розв’язок одержаного рівняння Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru запишеться у вигляді

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Тоді

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Із крайових умов на сторонах ОВ та АС одержимо систему для визначення невідомих коефіцієнтів Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru і Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru :

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

де

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Отже, для парних п Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru а для непарних

- 46 -

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Підставивши ці значення у ряд для розв’язку Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru і врахувавши непарність п, одержимо

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Зауваження 1. Загальний розв’язок рівняння Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru часто зручніше записати у вигляді

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Зауваження 2. У наведеному прикладі ми будували задачу Штурма-Ліувілля для функції Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru поскільки крайові умови на сторонах Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru та Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru були однорідними. Якщо ж крайові умови неоднорідні по обох змінних, то таку задачу можна за певних умов звести до двох задач, аналоґічних до прикладу 1. Наприклад, розв’язок крайової задачі

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

можна шукати у вигляді Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru де Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru – розв’язок задачі

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

а Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru – розв’язок задачі

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Проте тут слід пам’ятати, що такий спосіб відшукання розв’язку застосовний лише у випадку узгодженості крайових умов не тільки у вихідній, але й у двох дочірніх крайових задачах.

Іноді область, у якій знаходять розв’язок, може бути нескінченою.

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

ПРИКЛАД 2. У півсмузі (див. малюнок) Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru знайти розв’язок Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru рівняння Лапласа, який справджує наступні крайові умови:

- 47 -

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Розв’язання. Шукаючи розв’язок задачі методом відокремлення змінних (крайові умови є узгодженими) у вигляді Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru аналоґічно до прикладу 1, одержимо:

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Задачу Штурма-Ліувілля (ЗШЛ) будуємо для функції Х(х), поскільки цього разу однорідними є крайові умови на сторонах х=0 та х=а. Розв’язавши цю ЗШЛ та при знайдених власних значеннях – рівняння для функції Y(y), одержимо:

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Враховуючи умову обмеженості розв’язку при Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru беремо Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru Тоді

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Для визначення коефіцієнтів Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru використаємо крайову умову при у=0:

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru звідки Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Отже, розв’язок крайової задачі буде Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Б) Метод власних функцій.

Розглянемо задачу: в області Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru знайти розв’язок рівняння Пуассона

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru (1)

який справджує крайові умови

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru (2)

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru (3)

Розв’язок цієї задачі у випадку, коли функція Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru сама справджує всі чотири крайові умови, можна знайти за допомогою методу власних функцій. Для цього спочатку розв’язуємо відповідну задачу на власні значення вигляду

- 48 -

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Шукаючи власні функції наведеної задачі методом відокремлення змінних у вигляді Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru одержуємо:

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

звідки

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Покладемо для визначеності Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru . Тепер розв’язок задачі (1)-(3) можна шукати у вигляді ряду по системі знайдених власних функцій

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru (4)

Будемо вважати, що ряд (4) рівномірно збігається і його можна почленно диференціювати двічі по х і по у. Для визначення невідомих коефіцієнтів Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru розкладемо функцію Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru в подвійний ряд Фур’є по системі власних функцій Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru :

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru (5)

Підставивши (4) і (5) у рівняння (1), одержимо:

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Але

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Отже,

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Звідси Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru і згідно (4) розв’язок задачі (1)-(3) буде

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

- 49 -

Зауваження. Розв’язок задачі (1)-(3) можна шукати у вигляді ряду (4), поскільки він справджує однорідні крайові умови. У випадку неоднорідних крайових умов, наприклад для задачі

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru (6)

розв’язок при виконанні певних умов (див. попередні приклади) можна шукати у вигляді Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru де Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru – розв’язок задачі

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru (7)

а Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru – розв’язок задачі

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru (8)

Метод розв’язування задачі (7) поданий у зауваженні 2 до прикладу 1. Задача (8) аналоґічна задачі (1)-(3) й інтеґрується за допомогою методу власних функцій.

Проте не завжди наведені вище методи є раціональними. У деяких частинних випадках можливе застосування більш простих засобів.

ПРИКЛАД 3.Знайти стаціонарний розподіл температури в однорідній прямокутній пластинці Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru всередині якої діють джерела тепла інтенсивності Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru якщо краї Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru та Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru пластинки підтримуються при нульовій температурі, а інші два краї теплоізольовані.

Розв’язання. Математична модель задачі:

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

1 спосіб (метод власних функцій). Вільний член у рівнянні справджує усі чотири крайові умови, тому для відшукання розв’язку застосовний метод власних функцій аналоґічно до задачі (1)-(3). Отже, спочатку розв’язуємо відповідну задачу на власні значення вигляду

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Шукаючи власні функції наведеної задачі методом відокремлення змінних у вигляді Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru легко знаходимо:

- 50 -

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Покладемо для визначеності Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru . Тепер розв’язок поставленої задачі можна шукати у вигляді ряду по системі знайдених власних функцій

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Підставивши цей ряд у рівняння, одержимо:

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Розкладемо функцію Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru в подвійний ряд Фур’є по системі знайдених власних функцій Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru : Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru де

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Але

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Отже,

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Звідси Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru і розв’язок задачі матиме вигляд

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Врахувавши, що коефіцієнти Фур’є Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru відмінні від нуля тільки при Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru і Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru (непарних) і підставивши всі знайдені величини у ряд для Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru остаточно одержимо:

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Другий спосіб (зведення неоднорідного рівняння до однорідного). Поскільки вільний член у рівнянні є функцією тільки змінної х, а умови на краях Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru та Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru не залежать від змінної у, то наведену крайову задачу можна розглядати як аналоґ задачі зі стаціонарними неоднорідностями для

- 51 -

рівнянь гіперболічного та параболічного типів. Отже, шукаємо розв’язок у вигляді

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

де допоміжна функція Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru повинна справджувати неоднорідне рівняння та умови на краях Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru та Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru , тобто повинна бути розв’язком крайової задачі

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Проінтеґрувавши цю задачу, одержимо Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru а для нової невідомої функції Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru – однорідну задачу

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

звідки очевидно, що Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru (поскільки рівняння і всі крайові умови є однорідними, а сама задача не є задачею Неймана). Отже, розв’язок вихідної крайової задачі буде

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Зауваження. Якщо в задачі для нової невідомої функції Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru крайові умови неоднорідні, то її розв’язок знаходиться за допомогою методу Фур’є (див. зауваження 2 до прикладу 1). При цьому за вірного підбору допоміжної функції Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru або Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru умови застосовності методу Фур’є виконуватимуться автоматично.

Завдання. Перевірити тотожність двох одержаних розв’язків крайової задачі для прикладу 3.

ПРИКЛАД 4. Проінтеґрувати задачу та дати фізичну інтерпретацію:

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Фізична інтерпретація:

а) знайти положення рівноваги однорідної квадратної мембрани, яка піддається дії зовнішньої сили інтенсивності Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru якщо край Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru мембрани зміщений на сталу величину, край Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru вільний, до краю Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru прикладена сила Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru а край Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru пружно закріплений з коефіцієнтом жорсткості Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru причому точки закріплення пружин рухаються за законом Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru – або:

- 52 -

б) знайти стаціонарний розподіл температури в однорідній квадратній пластинці, всередині якої діють джерела тепла інтенсивності Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru якщо край Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru пластинки підтримується при сталій температурі, край Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru теплоізольований, до краю Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru підводиться тепловий потік Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru а на краї Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru проходить теплообмін з коефіцієнтом Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru з навколишнім середовищем, температура якого рівна Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Розв’язання. Покладемо Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru де нові невідомі функції є розв’язками наступних крайових задач:

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru (9)

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru (10)

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru (11)

Крайові умови в (9) і (10) є узгодженими, тому для відшукання розв’язків цих задач застосовний метод Фур’є.

Отже, Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru , причому ЗШЛ будуємо для функції Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru Одержимо:

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Звідси Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru де Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru – додатні корені рівняння Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru (ці корені можна визначити лише наближеними методами), а Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru Відповідні функції Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru запишемо для зручності через гіперболічні функції у вигляді Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru Тоді

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru (12)

Коефіцієнти Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru і Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru визначаємо з умов на краях Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru і Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru :

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

- 53 -

Із першої рівності маємо Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru Розклавши праву частину другої рівності в ряд Фур’є по системі власних функцій Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru одержимо:

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Підставивши знайдені коефіцієнти у ряд (12), одержимо розв’язок задачі (9) у вигляді

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Аналоґічно розв’язується й задача (10): Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru , проте цього разу ЗШЛ будуємо для функції Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru Одержимо:

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Звідси Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru (нуль теж є власним значенням). Відповідні функції Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru будуть

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Тоді

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru (13)

Коефіцієнти Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru і Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru визначаємо з умов на краях Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru і Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru :

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru У правих частинах одержаних рівностей фіґурують тільки власні функції (маємо резонансний випадок), тому можна, не використовуючи розклад у ряд Фур’є, одразу прирівняти коефіцієнти при однакових власних функціях. Тоді з першої рівності будемо мати Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru З урахуванням знайдених коефіцієнтів Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru із другої рівності одержимо: Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru а для всіх інших значень т Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

- 54 -

Підставивши знайдені коефіцієнти у ряд (13), одержимо розв’язок задачі (10) у вигляді

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Поскільки вільний член у рівнянні задачі (11) справджує всі чотири крайові умови, то розв’язок цієї задачі можна було б шукати за допомогою методу власних функцій у вигляді ряду

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Проте, зваживши на простий вигляд вільного члена у рівнянні, легко побачити, що задача (11) аналоґічна до прикладу 3 і інтеґрується шляхом зведення неоднорідного рівняння до однорідного підстановкою

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

де допоміжна функція Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru повинна справджувати неоднорідне рівняння та умови на краях Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru та Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru , тобто повинна бути розв’язком крайової задачі

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Проінтеґрувавши цю задачу, одержимо Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru а для нової невідомої функції Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru – однорідну задачу

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

звідки очевидно, що Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru (див. приклад 3). Отже, розв’язок задачі (11) буде

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Додавши знайдені розв’язки задач (9), (10) і (11), одержимо шуканий розв’язок вихідної крайової задачі:

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru де Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Іноді без застосування методу Фур’є вдається проінтеґрувати й більш складні за (11) крайові задачі.

ПРИКЛАД 5. Проінтеґрувати крайову задачу:

- 55 -

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Розв’язання. На вигляд задача аналоґічна до прикладу 4, проте шукати її розв’язок вищенаведеним способом не можна, поскільки в дочірніх задачах крайові умови стануть неузгодженими. Отже, застосовуємо інший спосіб (див. приклад 3): покладемо

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

де Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru – деякий частинний розв’язок рівняння

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru (14)

котрий потрібно підібрати таким чином, щоб до одержаної задачі для Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru був застосовний метод Фур’є. При цьому бажано, щоб одержана нова задача була максимально простою.

Спробуємо виконати ці умови для нашого прикладу. Очевидно, що довільна функція вигляду Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru де А, В, С – довільні сталі, є розв’язком рівняння (14). Виберемо тепер сталі А, В, С таким чином, щоб справдити хоча б деякі з чотирьох крайових умов. Маємо:

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Легко бачити, що при В=1, С=-1 та А=-2 справджуються усі чотири крайові умови. Отже, беремо Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru . Тоді для Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru одержимо задачу:

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

звідки Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru , а тому

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Розглянемо задачу Неймана для рівняння Лапласа у прямокутнику Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Умова стаціонарності теплового поля для такої задачі має вигляд

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

- 56 -

При невиконанні хоча б однієї з цих умов задача розв’язку не має. Проте у випадку задачі Неймана для рівняння Пуассона іноді вдається підібрати частинний розв’язок рівняння таким чином, щоб крайові умови стали узгодженими.

ПРИКЛАД 6.Проінтеґрувати крайову задачу

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Розв’язання. Очевидно, що умова стаціонарності теплового поля тут не виконується, поскільки Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru Тому розв’язок потрібно шукати у вигляді Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru де Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru – деякий частинний розв’язок рівняння Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru причому для Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru крайові умови повинні стати узгодженими. Шляхом підбору знаходимо, наприклад, Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru тоді для Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru одержимо задачу

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Тут крайові умови є узгодженими, і задача має очевидний розв’язок

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

(як відомо, розв’язок внутрішньої задачі Неймана завжди визначається з точністю до сталого доданка). А тоді

Крайові задачі для прямокутних областей. Метод Фур’є - student2.ru

Наши рекомендации