Обратная функция. сложная функция.

Если поменять ролями аргумент и функцию, то x станет функцией от y. В этом случае говорят о новой функции, называемой обратной функцией.

Сложная функция – функция от функции. Если z – функция от у, т.е. z(y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у(х), то функция f(x) = z(y(x)) называется сложной функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.

4. Определение предела функции в точке на языке « ». Понятие односторонних пределов. Формулировка теоремы oсуществовании предела функцииf(х) в точке .

называется предел функции f(x) при , если для любого , что при всех и

Односторо́ннийпреде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́ннимпреде́лом (или преде́ломсле́ва) и правосторо́ннимпреде́лом (преде́ломспра́ва).

Для того чтобы функция f : E → R имела в точке x0 конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы функция f удовлетворяла в точке x0 условию Коши.

Будем говорить, что функция f : E → R удовлетворяет в точке x0 (x0 — предельная точка множества E) условию Коши, если

Определение предела функции на бесконечности.

называется предел функции f(x) при , если для любого найдётся ,что для всех выполняется неравенство

Теорема о сумме, разности, произведении и частном двух функций, имеющих пределы в точке.

Пусть функции f(x) и g(x) имеют пределы при одной и той же базе B:

Тогда функция h(x)=f(x)+g(x) также имеет предел при базе B, и этот предел L равен сумме пределов слагаемых:

Разность функций

Пусть функции f(x) и g(x) имеют пределы при одной и той же базе B:

Тогда функция h(x)=f(x) g(x) также имеет предел при базе B, и этот предел L равен произведению пределов сомножителей:

Пусть при одной и той же базе B существуют пределы и , причём . Тогда функция определена на некотором окончании базы B, существует предел , и , то есть предел отношения равен отношению пределов числителя и знаменателя.

Теорема о пределе функции, заключенной между двумя функциями, имеющими один и тот же предел.

Если функция f(x) заключена между двумя функциями g(x) и p(x), имеющими один и тот же предел, то она стремится к этому же пределу.

Определение бесконечно малой функции. Теорема о сумме и произведении конечного числа бесконечно малых функций, а также о произведении бесконечно малой функции на ограниченную функцию.

Функция называется бесконечно малой при , если

Сумма и произведение конечного числа бесконечно малой функции есть функция бесконечно малая.

Произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть функция бесконечно малая.

9. Теорема о необходимом и достаточном условиях выполнения равенства с использованиемпонятия бесконечно малой функции. Бесконечно большие функции и их свойства.

Если f(x) имеет предел, то её можно представить как сумму постоянной и бесконечно малой функции.

Функция называется бесконечно большой при , если предел этой функции

Сумма и произведение бесконечно больших функций есть функция бесконечно большая.

Сумма бесконечно большой функции и ограниченой есть функция бесконечно большая

Произведение бесконечно большой функции на есть функция бесконечно большая.