Отражение и преломление на границе двух диэлектриков
При распространении света в изотропной среде отсутствуют причны изменения направления векторов или , т.е. поляризации. Это существенно облегчает расчет электромагнитных полей, так как можно ввести такую систему координат, чтобы только одна компонента поля была отлична от нуля и анализ проводится так, как будто является скаляром. Такой подход лежит в основе скалярной теории распространения электромагнитного поля.
рис. 9.1 |
В случае нарушения изотропии, направления вектора может меняться и анализа одной компоненты уже недостаточно. Необходимо отслеживать все компоненты, а это и есть векторная модель распространения электромагнитного поля.
рис. 9.2 |
Простейшим случаем нарушения изотропии пространства, появления анизотропии, является наклонное падение света на границу раздела двух сред. Если определить плоскость падения как плоскость, проходящую через луч и нормаль к поверхности, то из рисунка (рис 9.2) видно, что условия взаимодействия луча и поверхности будут различными для разных ориентаций вектора относительно плоскости падения. Если же луч падает на поверхность по нормали, то изотропия относительно луча не нарушается. Таким образом, преломление и отражение при наклонном падении должно изменять так называемое состояние поляризации световой волны.
Определим соотношения между напряженностями электромагнитных волн и их интенсивностей для падающей, преломленной и отраженной волнами при произвольном падении луча на границу раздела двух сред. Будем считать, что плоскость падения лежит в плоскости . Кроме того, будем помечать все параметры отраженной волны одним штрихом ( ‘ ), а параметры преломленной волны двумя штрихами ( “ ) и компоненты полей в плоскости падения индексом , а в плоскости, перпендикулярной ей - и полагать, что угол падения исходной волны меньше угла полного внутреннего отражения (т.е. преломленная волна существует) (рис 9.3).
Для получения искомых соотношений следует воспользоваться известных из физики граничных условий, которые заключаются в том, что проекции векторов электрической и магнитной напряженности по обе стороны раздела должны быть одинаковы, в противном случае там должны бы появиться токи, но этого не должно быть, поскольку среды диэлектрические.
Обозначив за вектор амплитуды электрического или магнитного поля (это пока несущественно, так как поведение или в световой волне совершенно идентично), запишем проекции на линию раздела - ось . Из рисунка (9.3) следует, что для составляющих векторов, лежащих в плоскости падения будет
. (9.1)
Составляющие, которые перпендикулярны плоскости падения, параллельны плоскости раздела и их проекции равны их значениям.
. (9.2)
Так как в подпространстве с показателем преломления распространяется две волны - падающая и отраженная, а в другом - только преломленная, то граничные условия запишутся как
(1) |
Полагая, что в роли был взят вектор , т.е. , то можно взять из известного условия (3.14) перпендикулярности и
, (9.4)
где - показатель преломления среды, - направляющий вектор луча, (здесь учтено, что для оптических сред и ). Если раскрыть векторное произведение (9.4) то получим, что и . Подставляя значения векторов и выраженные через в (9.3) и учитывая, что проекция отраженного луча на ось движется в сторону, противоположную падающему и отраженному лучу (для этого меняем знак у , чтобы выполнялось правило буравчика), запишем
(9.5) |
Полученное выражение представляет собой систему четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными , которыми являются компоненты преломленного и отраженного луча при заданных компонентах падающего луча, угле его падения и показателей преломления сред. Данная система распадается на две системы из двух уравнений с двумя неизвестными каждая, которые решаются без труда. В результате, после преобразований и с использованием закона преломления, получим
(9.6а) (9.6б) (9.6в) (9.6г) |
Эти соотношения называются формулами Френеля. Из этих уравнений следует, что преобразования компонент у различных направлений колебаний векторов отличаются, т.е. состояние поляризации действительно меняется.
Отметим, что и ни при каких углах падения (в случае неопределенность, этот случай будет рассмотрен позже). Это говорит о том, что преломленная и отраженная волны всегда присутствуют. Однако имеется одно исключение. Если выражение (9.6г) переписать, заменив тангенс отношением синуса к косинусу, то
. (10)
Рис 9.4 |
При амплитуда отраженной волны в плоскости падения равна нулю, т.е. в световой волне присутствует лишь одна компонента электромагнитного поля - в данном случае перпендикулярная плоскости падения. В этих случаях говорят, что волна плоско поляризована. Угол , при котором этот эффект происходит, называется углом Брюстера и его величина может быть определена следующим образом. Из рис. 9.2 следует, что преломленный и отраженный луч взаимно перпендикулярны .
Используя закон Снеллиуса и использовав условие , найдем, что . После подстановки в выражение для закона Снеллиуса получим
, (11.а)
откуда
. (11.б)
В частности для стекле в воздухе, когда , а - получим , откуда .
Используя вектор Пойнтинга, можно получить энергетические характеристики отраженного и преломленного лучей - интенсивностей, т.к.
, (12)
где - показатель преломления среды, а также коэффициенты отражения и преломления , как отношения интенсивностей отраженной или преломленной волн к интенсивности падающей в соответствующих плоскостях и
. (13)
Используя (9), (12) и (13) запишем величины этих коэффициентов
(14)
Особый интерес представляет случай нормального падения, когда . Непосредственная подстановка в уравнения (9) или (14) приведет к неопределенностям типа . Однако, если их раскрыть, то выражения (14) существенно упростятся, при этом, как уже предполагалось, исчезнут различия в коэффициентах для разных плоскостей падения, при этом формулы (9) примут вид
, | (15) |
а формулы (15) преобразуются в
. | (16) |
Анализ полученных выражений позволяет сделать следующие выводы:
1) Так как при нормальном падении среда по отношению к лучу изотропна, что подтверждается формулами (15) , т.е. имеют вид, одинаковый для всех ориентаций векторов или , то состояние поляризации у отраженного и преломленного лучей такие же, как и падающего.
2) В случае знак у или меняется, что означает потерю половины волны при отражении от более плотной среды.
3) При любом прохождении границы часто энергии теряется на отражение, причем эти потери одинаковы при прямом и обратном направлении движения светового потока. Например, при прохождении границы воздух – стекло ( , ); . В сложных оптических системах, состоящих из большого числа поверхностей, разделенных воздухом, эти потери бывают весьма значительными. Например, у системы, состоящей из 5 линз, т.е. имеющей 10 поверхностей, эти потери составляют около 34%. Что бы их уменьшить, применяют специальные меры, например просветление.
4. Из (15) следует, что . Это закон сохранения энергии.