Некоторые практические приложения уравнения Бернулли

Рассмотрим применение уравнения Бернулли для определения скоростей и расходов и времени истечения жидкостей из резервуаров.

Принципы измерения скорости и расхода жидкости. Для определения скоростей и расходов жидкостей в промышленной практике обычно применяются дроссельные приборы и пневмометрические трубки.

Принцип работы пневмометрических трубок, например трубки Пито–Прандтля, может быть пояснен с помощью рис. 15. В каждом сечении разность уровней жидкости в трубках, изображенных на рисунке, выражает скоростной напор искомой точке сечения, лежащей на оси трубы.

Разность уровней рабочей жидкости в трубках удобнее измерять не посредством пьезометрических трубок, как показано на рис. 15, а при помощи дифференциального манометра (рис. 16). Его U-образная трубка заполнена жидкостью, которая не смешивается с рабочей и имеет значительно большую плотность, чем последняя (например, вода или спирт — при работе с газами или ртуть — при работе с капельными жидкостями). Это позволяет измерять перепады давлений в случае значительного избыточного давления (или вакуума) в трубопроводе при относительно небольшой высоте прибора.

По результатам измерений h_ск = находят максимальную скорость жидкости вдоль оси трубопровода.

Рис. 16. Измерение скорости жидкости Рис. 17. Мерная диафрагма

пневмометрической трубкой

Для определения средней скорости жидкости либо снимают эпюру распределения скоростей по сечению трубопровода (см. рис. 10), передвигая пневмометрическую трубку в различные точки сечения, либо используют соотношения между средней и максимальной скоростями при ламинарном и турбулентном режимах течения (см. стр. 44). Расход жидкости находят, умножая среднюю скорость на площадь поперечного сечения трубопровода.

Такой способ определения скорости и расхода жидкости прост, но недостаточно точен из-за трудности установки пневмометрических трубок строго вдоль оси трубопровода.

Более широко распространено определение скоростей и расходов жидкостей с помощью дроссельных приборов, принцип работы которых основан на измерении перепада давлений при изменении поперечного сечения трубопровода. При искусственном сужении сечения потока посредством дроссельного прибора скорость и, соответственно, кинетическая энергия потока в этом более узком сечении возрастают, что приводит к уменьшению потенциальной энергии давления в том же сечении. Поэтому, измерив дифференциальным манометром перепад давлений между сечением трубопровода до его сужения и сечением в самом сужении (или вблизи него), можно вычислить изменение скорости между сечениями, а по нему — скорость и расход жидкости.

В качестве дроссельных приборов используют мерные диафрагмы, сопла и трубы Вентури.

Мерная диафрагма (рис. 17) представляет собой тонкий диск с отверстием круглого сечения, центр которого расположен на оси трубы. Мерное сопло (рис. 18) является насадком, имеющим плавно закругленный вход и цилиндрический выход. Дифманометры мерных сопел (а также диафрагм) присоединяют к трубопроводу через кольцевые камеры а, соединенные с внутренним пространством трубопровода отверстиями, равномерно расположенными по окружности, или двумя каналами b.

Рис. 18. Мерное сопло Рис. 19. Труба Вентури

Труба Вентури (рис. 19) имеет постепенно сужающееся сечение, которое затем расширяется до первоначального размера. Вследствие такой формы трубы Вентури потеря давления в ней меньше, чем в диафрагмах или соплах. Вместе с тем длина трубы Вентури очень велика по сравнению с толщиной диафрагмы или сопла, которые могут быть установлены между фланцами трубопровода.

В трубе Вентури и в сопле площадь сечения сжатой струи равна площади самого отверстия ( – площадь сечения трубопровода, на котором установлен дроссельный прибор). В диафрагме S₂ < S_о (см. рис. 17).

Считая трубопровод горизонтальным, запишем для двух сечений, перепад давлений между которыми измеряется дифференциальным манометром, уравнение Бернулли. В соответствии с обозначениями на рис. 17 и пренебрегая потерей напора, имеем

откуда

где h — перепад (разность) давлений, измеряемый дифференциальным манометром и выражаемый в метрах столба рабочей жидкости.

Чтобы определить среднюю скорость и расход жидкости в трубопроводе, выразим скорость w₁ в сечении трубы через скорость w₂ в узком сечении струи за диафрагмой, в котором замеряется давление р₂, пользуясь уравнением неразрывности потока

Подставим значение w₁ в выражение разности скоростных напоров

откуда

Объемный расход жидкости Q в сечении S_o отверстия диафрагмы (а значит, и в трубопроводе) будет равен

где a —поправочный коэффициент (a < 1); этим коэффициентом учитывается уменьшение скорости w_o в сечении S_o по сравнению со скоростью w₂ из-за сужения струи (S_o > S₂), а также потеря напора в диафрагме.

Коэффициент a называется коэффициентом расхода дроссельного прибора. Его значение зависит от значения критерия Рейнольдса для жидкости и от отношения диаметра отверстия дроссельного прибора к диаметру трубопровода:

(55)

Значения a, определенные опытным путем, приводятся в специальной и справочной литературе*.

Диаметр дроссельного устройства обычно в 3—4 раза меньше диаметра трубопровода, поэтому величиной (d₂/d₁)⁴ в уравнении (54) можно в первом приближении пренебречь и находить расход жидкости по уравнению

(56)

Среднюю скорость жидкости в трубопроводе определяют, разделив Q на площадь сечения трубопровода. Опуская индексы «1» у w₁ и d₁, получим

(57)

В случае работы со сжимаемыми жидкостями (газом или паром) при больших перепадах давлений в уравнения (56) и (57) вводят еще один поправочный коэффициент, учитывающий изменение плотности газа (пара).