Истолкование уравнения Д. Бернулли

Рассмотрим смысл уравнения Бернулли с точек зрения гидравлической, геометрической и энергетической.

Гидравлическое истолкование уравнения Д. Берн у л л и. С точки зрения гидравлики каждый член уравнения Бернулли (74) имеет свое название, а именно:

1. Первый член правой и левой частей уравнения Бернулли и называется скоростным напором в сечениях 1-1 и 2-2.

Скоростной напор можно наблюдать в действительности. Если например в точке А (рис. 23) рядом с пьезометром поставить изогнутую трубку, обращенную отверстием навстречу потоку, то уровень жидкости в этой трубке будет выше уровня в пьезометре на высоту, равную скоростному напору в той точке, где находится отверстие трубки . Эта трубка называется гидрометрической, или трубкой Пито. Зная разницу уровней в трубке Пито и пьезометре, можно определить скорость движения жидкости в этой точке.

2. Второй член правой и левой частей уравнения и называется пьезометрической высотой (если учитываем манометрическое давление), или приведенной высотой давления (если учитываем абсолютное давление). Как правило, в расчет принимается манометрическое давление, поэтому в дальнейшем будем называть пьезометрической высотой.

3.Третий член правой и левой частей уравнения и называется высотой положения точки живого сечения над плоскостью сравнения.

4. Четвертый член правой части уравнения h_w называется потерей напора при движении жидкости между сечениями 1-1 и 2-2.

Напомним, что сумма пьезометрической высоты и высоты положения z во всех точках живого сечения установившегося, плавно изменяющегося потока одна и та же, т.е. и называется пьезометрическим напором.

Сумма скоростного напора и пьезометрического напора называется гидродинамическим напором

. (75)

Учитывая выражение (75), уравнение Д. Бернулли можно написать в следующем виде:

. (76)

Таким образом, с гидравлической точки зрения уравнение Д. Бернулли может быть прочитано так: гидродинамический напор в данном сечении потока жидкости равен гидродинамическому напору в другом сечении (лежащем ниже по течению) плюс потеря напора между этими сечениями.

Геометрическое истолкование уравнения Д. Берн у л л и. В связи с тем, что все члены уравнения Бернулли имеют линейную размерность, его можно представить графически (см. рис. 22), отложив в каждом сечении от плоскости сравнения о-о по вертикали отрезки, выражающие в определенном масштабе , и . Проведя между сечениями 1-1 и 2-2 линию рр по верхним точкам пьезометрического напора, получим так называемую пьезометрическую линию, которая показывает изменение пьезометрического напора по длине потока. Если расстояние между сечениями но длине потока равно l, то можно получить изменение пьезометрического напора на единицу длины потока. Обозначив эту длину J_p, называемую средним пьезометрическим уклоном на данном участке, получим

, (77)

т.е. пьезометрическим уклоном J_p называется безразмерная величина. показывающая изменение пьезометрического напора, приходящееся на единицу длины потока. Пьезометрический уклон J_p может быть величиной положительной – линия рр понижается по направлению движения, когда скорости вдоль потока растут; или отрицательной – линия рр повышается по направлению движения, когда скорости вдоль потока уменьшаются.

Проведя между сечениями 1-1 и 2-2 линию NN по верхним точкам гидродинамического напора, получим так называемую напорную линию, которая показывает изменение гидродинамического напора по длине потока. Поделив разность гидродинамических напоров в двух сечениях на расстояния между ними, получим средний гидравлический уклон

, (78)

но –потеря напора между сечениями 1-1 и 2-2; поэтому можно написать

, (78')
т. е гидравлическим уклоном потока называется безразмерная величина, показывающая изменение гидродинамического напора на единицу длины потока. Заметим, что I может быть только положительной величиной, так как напорная линия NN всегда понижается ввиду того, что потери напора по длине потока неизбежны.

Таким образом, с геометрической точки зрения уравнение Д. Бернулли можно прочитать так: напорная линия по длине потока всегда понижается, так как часть напора тратится на преодоление трения по длине поток.

Частный случай. При равномерном движении, когда скорость по длине потока не изменяется, напорная NN и пьезометрическая рр линиипараллельны, так как во всех сечениях величина одна и та же.

Энергетическое истолкование уравнения Д. Берн у л л и. Принимая во внимание изложенное в § 2.5 и формулу (72), сумму членов уравнения Бернулли с энергетической точки зрения можно представить как сумму удельной кинетической и удельной потенциальной энергий в любом сечении потока при установившемся движении жидкости, а четвертый член уравнения h_w как потерю механической энергии на преодоление сил трения при перемещении единицы массы жидкости от сечения 1-1 ксечению 2-2. В связи с этим линию NN можно назвать линией полной удельной энергии потока, а линию рр – линией удельной потенциальной энергии.

Гидравлический уклон с энергетической точки зрения необходимо рассматривать как уменьшение полной удельной энергии на единицу длины потока.

2.7. Практическое применение уравнения Д. Бернулли

При применении уравнения Д. Бернулли для решения практических задач гидравлики следует помнить два основных условия:

1. уравнение Бернулли может быть применено только для тех живых сечений потока, в которых соблюдаются условия плавно изменяющегося движения. На участках между выбранными сечениями условия плавно изменяющегося движения могут и не соблюдаться;

2. гидродинамическое давление и, следовательно, высоту положения z можно относить к любой точке живого сечения, так как для любой точки живого сечения потока при плавно изменяющемся движении есть величина постоянная. Обычно двучлен удобно отнести для упрощения решения задач к точкам или на свободной поверхности, или на оси потока.

Разберем применение уравнения Бернулли на примере простейшего водомерного устройства в трубах водомера Вентури (рис. 24.); он представляет собой вставку в основную трубу диаметром D трубы меньшего диаметра d, которая соединена с основной трубой коническими переходами.

В основной трубе сечение 1-1 и в суженном сечении сечении 2-2 присоединены пьезометры, по показаниям которых можно определить расход жидкости в трубе Q.

Выведем общую формулу водомера для определения расхода в трубе. Составим уравнение Бернулли для точек, расположенных в центре тяжести сечений 1-1 перед сужением и 2-2 в горловине, приняв плоскость сравнения по оси трубы о-о. Для наших условий , .

Потери напора в сужении ввиду малости расстояния между сечениями считаем равными нулю, т.е. .

Тогда уравнение Бернулли (74) запишется так:

, или .

Но из рис. 24 , поэтому

. (а)

В уравнении (а) две неизвестные величины и . Составим второе уравнение, используя уравнение неразрывности (70)

,

откуда

.

Подставляя в уравнение (а), получим

.

Отсюда скорость течения в основной трубе (сечение 1-1) равна

,

расход жидкости в трубе по формуле IV.2:

или

.

Обозначим постоянную величину для данного водомера через К

, (79)

тогда

.

Однако при выводе этой формулы не учитывались потери напора в водомере, которые в действительности будут. С учетом потерь напора формула расхода водомера Вентури запишется так:

, (80)

где – коэффициент расхода водомера, учитывающий потери напора в водомере. Для новых водомеров ; для водомеров, бывших в употреблении, .

Таким образом, для определения расхода в трубе достаточно замерить разность уровней воды в пьезометрах и подставить ее значение в формулу (80).