Определение дифференциала функции

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке х, т.е. имеет в этой точке конечную производную y′, то = y′ + α, где α →0 при →0

Отсюда:

+α

Главная часть y′ приращения функции, линейная относительно называется дифференциалом функции и обозначается dy.

Учитывая, что dx= будем иметь

dy = y′dx

При достаточно малом dx= приращение функции равно ее дифференциалу.

Сформулируем свойство инвариантности дифференциала:

dy = f ′_x(x) dx = f ′_u(u) du

Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента, где аргумент может быть и независимой переменной и функцией от другой независимой переменной.

Процесс отыскания дифференциала, как и операция нахождения производной, называется дифференцированием.

158. Найти дифференциал dy функции:

y =

Решение. Исходя из определения дифференциала, имеем:

dy = y dx = ′dx = 2x dx

Данную функцию можно представить так: y = e^u, где u = x²+1. Тогда будем иметь:

dy = e^udu = d(x² + 1) = 2x dx

159. Найти дифференциал dy функции:

y = arctg e^{sin 3x}

Решение. Найдем производную y′, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции:

y′ = 1/(1+(e^{sin 3x} )^2 ) e^{sin 3x} ∙ cos 3x ∙ 3

Тогда:

dy = e^{sin 3x} ∙ cos 3x ∙ 3 dx

Дифференциал применяется для приближенных вычислений. Из формулы

f(x+Δx) ≈ f(x) + y′Δx (1), получаем

f(x₂) ≈ f(x₁)+ f(x₁)(x₂ – x₁) (2)

160. Найти приближенное значение функции

f(x) =

При х = 3,02 исходя из ее точного значения при х = 3.

Решение. Положим x₁= 3 x₂ = 3,02

Применяя приближенное равенство (2), будем иметь:

f(3.02)= ≈ + f ′(3) (3,02 - 3) = 4 + f ′(3) 0,02

Чтобы найти f ′(3), надо предварительно данную функцию продиф-ференцировать и затем найти численное значение производной при х = 3

f ′(x) = , f ′(3) =

Таким образом: ≈ 4+ 0,02 = 4,015

161. Найти приближенное значение величины tg 47⁰

Решение. Рассмотрим функцию y = tg x. Известно, что tg 45⁰=1. Поэтому удобно положить x₁ = 45⁰ и x₂ = 47⁰.

Чтобы воспользоваться приближенным равенством (2), необходимо предварительно найти значение функции y = tg x и ее производной y′ = при x₁ = 45⁰ = y = 1 y′ = 2

Разность: x₂ – x₁ надо выразить в радианной мере

x₂ – x₁ = 47 - = = = 0,035

Следовательно: tg 47⁰ ≈ 1+2 0,035 = 1,070

Вычислить приближенно:

162. y = при х = 3,02 163. y = при х=0,02

164. y = при х = 1,05 165. cos 61⁰

166. tg 44⁰ 167. e^0.2

168. 169. arctg 1,05

170. arcsin 0,54 171. ln 11

172. cos 151⁰

173. Доказать формулу ≈ a + ( > 0, x > 0), где |x|<< (соотношение А<< B между положительными А и В означает, что А весьма мало по сравнению с В).

С помощью этой формулы приближенно вычислить:

174. a) б) в)

РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание № 1

Составить уравнение касательной и нормали кривой в точке М с абсциссой х₀

1. , х₀ = 2; 16. , х₀ = 1;

2. у = х – х³, х₀ = 1; 17. , х₀ = 1;

3. , х₀ = 1; 18. , х₀ = 1;

4. , х₀ = 4; 19. , х₀ = 2;

5. у = 2х³ + 3х – 1, х₀ = -2; 20. , х₀ = 1;

6. , х₀ = 4; 21. , х₀ = -2;

7. , х₀ = -8; 22. , х₀ = 3;

8. , х₀ = 16; 23. , х₀ = 1;

9. у = 2х² – 3х + 1, х₀ = -2; 24. , х₀ = 1;

10. , х₀ = 3; 25. , х₀ = 1;

11. , х₀ = 64; 26. , х₀ = 1;

12. , х₀ = 2; 27. , х₀ = 1;

13. у = 2х² – 3, х₀ = 1; 28. , х₀ = 1;

14. , х₀ = 1; 29. , х₀ = 1;

15. , х₀ = 1; 30. , х₀ = 2.

Задание № 2

Найти производную

1. ;	16. ;
2. ;	17. ;
3. ;	18. ;
4. ;	19. ;
5. ;	20. ;
6. ;	21. ;
7. ;	22. ;
8. ;	23. ;
9. ;	24. ;
10. ;	25. ;
11. ;	26. ;
12. ;	27. ;
13. ;	28. ;
14. ;	29. ;
15. ;	30. .

Задание № 3

Найти производную

1. ;	16. ;
2. ;	17. ;
3. ;	18. ;
4. ;	19. ;
5. ;	20. ;
6. ;	21. ;
7. ;	22. ;
8. ;	23. ;
9. ;	24. ;
10. ;	25. ;
11. ;	26. ;
12. ;	27. ;
13. ;	28. ;
14. ;	29. ;
15. ;	30. .

Задание №4

Найти производную

1. ;	16. ;
2. ;	17. ;
3. ;	18. ;
4. ;	19. ;
5. ;	20. ;
6. ;	21. ;
7. ;	22. ;
8. ;	23. ;
9. ;	24. ;
10. ;	25. ;
11. ;	26. ;
12. ;	27. ;
13. ;	28. ;
14. ;	29. ;
15. ;	30. .

Задание №5

Найти производную

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. .

Задание №6

Найти производную

1. ;	16. ;
2. ;	17. ;
3. ;	18. ;
4. ;	19. ;
5. ;	20. ;
6. ;	21. y = (x - 5)ln x ;
7. y = x arcsin x ;	22. у = x ctg x ;
8. ;	23. y = x 2 cos x ;
9. ;	24. ;
10. ;	25. ;
11. ;	26. ;
12. ;	27. ;
13. ;	28. ;
14. ;	29. ;
15. ;	30. .

Задание №7

Найти производную указанного порядка

1. ;	16. ;
2.	17.
3.	18.
4.	19.
5.	20.
6.	21.
7.	22.
8.	23.
9.	24.
10.	25.
11.	26.
12.	27.
13.	28.
14.	29.
15.	30.

Задание №8

Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра t₀

1.	16.
2.	17.
3.	18.
4.	19.
5.	20.
6.	21.
7.	22.
8.	23.
9.	24.
10.	25.
11.	26.
12.	27.
13.	28.
14.	29.
15.	30.

Задание №9

Найти производную функции, заданной неявно

1.	16.
2.	17.
3.	18.
4.	19.
5.	20.
6.	21.
7.	22.
8.	23.
9.	24.
10.	25.
11.	26.
12.	27.
13.	28.
14.	29.
15.	30.

Задание №10

Найти дифференциал dy и показать, что функция у удовлетворяет уравнению (1)

1.	16.
2.	17.
3.	18.
4.	19.
5.	20.
6.	21.
7.	22.
8.	23.
9.	24.
10.	25.
11.	26.
12.	27.
13.	28.
14.	29.
15.	30.

Задание №11

Вычислить приближенно

1.	при х = 3,998;
2.	при х = 1,56;
3.	при х = 7,76;
4.	при х = 0,08;
5.	при х = 26,46;
6.	при х = 4,16;
7.	при х = 1,97;
8.	при х = 1,012;
9.	при х = 0,01;
10.	при х = 1,03;
11.	при х = 2,56;
12.	при х = 0,998;
13.	при х = 8,24;
14.	при х = 0,98;
15.	при х = 0,97;
16.	при х = 2,997;
17.	при х = 1,21;
18.	при х = 1,021;
19.	при х = 1,03;
20.	при х = 27,54;
21.	при х = 1,018;
22.	при х = 1,97;
23.	при х = 2,01;
24.	при х = 7,64;
25.	при х = 8,34;
26.	при х = 0,01;
27.	при х = 1,02;
28.	при х = 2,002;
29.	при х = 1,998;
30.	при х = 0,98.

Задание №12

Вычислить пределы функций, применяя правило Лопиталя

1.	16.
2.	17.
3.	18.
4.	19.
5.	20.
6.	21.
7.	22.
8.	23.
9. ;	24.
10.	25.
11.	26.
12.	27.
13.	28.
14. ;	29.
15. ;	30.

Задание № 13

Вычислить пределы функций, применяя правило Лопиталя

1. ;	16.
2.	17.
3.	18.
4.	19.
5.	20.
6.	21.
7.	22.
8.	23.
9.	24.
10.	25.
11. ;	26.
12.	27.
13.	28.
14.	29.
15.	30.

Задание № 14

Исследовать на экстремум следующие функции