Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение Бернулли.

Так называется уравнение

.

(15)

где (при m = 0 уравнение линейно, при m = 1 - с разделяющимися переменными). Это уравнение решается одним из следующих способов:
1. Уравнение Бернулли сводится к линейному подстановкой z = y^1-m (при m>1 может быть потеряно решение y = 0). Действительно, , ; после деления уравнения (15) на y^m получим , или - линейное уравнение.
Пример: (уравнение Бернулли, m = 2). Подстановка . Решаем полученное линейное уравнение: .
2. Можно сразу решать уравнение Бернулли методом, которым решаются линейные уравнения, т.е. заменой y(x) = u(x) v(x): из этого выражения находим u(x), и y(x) = u(x) v(x).
Пример: решить задачу Коши Как и в предыдущем примере, это уравнение не попадает ни под один из рассмотренных типов: оно не является ни уравнением с разделяющимися переменными (наличие суммы x² + y), ни уравнением с однородной правой частью (слагаемые разных порядков - первого и второго в этой сумме), ни линейным, ни Бернулли (другая структура). Попробуем опять представим это уравнение как уравнение относительно x = x(y): Это уже уравнение Бернулли с m = -1. Начальное условие примет вид x(1) = 2. Решаем уравнение: . Тогда . Это общее решение уравнения (утерянное решение y = 0 не удовлетворяет начальному условию). Ищем частное решение, удовлетворяющее начальному условию: ; решение задачи Коши: .
9. Уравнение в полных дифференциалах. Так называется уравнение вида

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.

(16)

(P(x, y), Q(x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), т.е. если существует такая функция u(x, y), что . Необходимым и достаточным условием существования такой функции является условие . Если (16) - уравнение в полных дифференциалах, то его правая часть равна , т.е. (16) принимает вид du(x, y) = 0. На решении y(x) получим du(x, y(x)) = 0, следовательно, u(x, y(x)) = C, где C - произвольная постоянная. Соотношение u(x, y) = C и есть общее решение уравнения в полных дифференциалах.
Для нахождения функции u(x, y) решается система уравнений Из первого уравнения этой системы находим с точностью до произвольной дифференцируемой по y функции (эта функция играет роль постоянной интегрирования; так как интегрирование ведётся по переменной x); затем из второго уравнения определяется .
Пример: найти общее решение уравнения . Убедимся, что это - уравнение в полных дифференциалах. Здесь ; , т.е. это действительно уравнение рассматриваемого типа. Ищем функцию u(x, y) такую, что Из первого уравнения . Дифференцируем эту функцию по y и приравниваем выражению, стоящему во втором уравнении системы: . Если мы правильно решаем это уравнение (т.е. правильно определили его тип и правильно выполнили предыдущие действия), то в полученном уравнении для должны остаться только члены, зависящие от y. Действительно, представляя как , получим . Следовательно, , и общее решение уравнения имеет вид .

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Однородное уравнение.

Линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами p и q без правой части имеют вид y’’+py’+qy=0 (1).

Если - корни характеристического уравнения (2), то общее решение уравнения (1) записывается в одном из следующих трех видов:

1) , если

2) , если

3) , если

Неоднородное уравнение

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y’’+py’+qy=f(x) (3)можно записать в виде суммы , где - общее решение соответствующего уравнения (1) без правой части, определяемое по формулам (1)-(3), и Y – частное решение данного уравнения (3).

Функция Y может быть найдена методом неопределенных коэффициентов в следующих простейших случаях:

1 , где - многочлен степени n. Если a не является корнем характеристического уравнения (2), т.е. , то полагают , где - многочлен степени nс неопределенными коэффициентами.

Если а есть корень характеристического уравнения (2), т.е. , то , где r – кратность корня а (r=1 или r=2)

2. . Если , то полагают , где - многочлены степени N=max{n,m}.

Если же то полагают , где - многочлены степени N=max{n,m}, r – кратность корней (для уравнений 2-го порядка r=1).

В общем случае для решения уравнения (3) применяется метод вариации произвольных постоянных.

Этот метод применяется для отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения n-го порядка как с переменными, так и с постоянными коэффициентами, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

Метод вариации для уравнения второго порядка y’’+py’+qy=f(x)заключается в следующем. Пусть известна фундаментальная система решений . Тогда общее решение неоднородного уравнения следует искать в виде , где функции определяются из системы уравнений Решение этой системы находим по формулам в силу чего y(x) можно сразу определить по формуле здесь - вронскиан решений

Рассмотрим решения линейных однородных и неоднородных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

1. Найти общее решение уравнения y’’-7y’+6y=0

Решение. Составим характеристическое уравнение ; его корни . Следовательно, - частные линейно независимые решения, а общее решение имеет вид

2. Найти общее решение уравнения y’’-2y’+y=0

Решение. Составим характеристическое уравнение ; его корни . Следовательно, - частные линейно независимые решения, а общее решение имеет вид

3. Найти общее решение уравнения y’’-4y’+13y=0

Решение. Составим характеристическое уравнение ; его корни . Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные, а поэтому им соответствуют частные решения , а общее решение имеет вид

4. Найти общее решение уравнения y’’-2y’-3y=

Решение. Составим характеристическое уравнение ; его корни . Следовательно, - частные линейно независимые решения, а общее решение однородного уравнения имеет вид . Частное решение исходного уравнения следует искать в виде (так как в правой части отсутствует синус и косинус, коэффициентом при показательной функции служит многочлен нулевой степени, т. е. m=n=0 и r=0, поскольку не является корнем характеристического уравнения).

Итак

_______________________

Следовательно, общее решение данного уравнения

5. Найти общее решение уравнения y’’+y=3sinx

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни , а поэтому общее решение однородного уравнения . Частное решение следует искать в виде (в данном случае так как i является простым корнем характеристического уравнения, то m=n=0 и r=1, имеем

Итак

_______________________

Следовательно, общее решение данного уравнения

6. Найти общее решение уравнения y’’+y=tgx

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни , а поэтому общее решение однородного уравнения . Частное решение исходного уравнения методом неопределенных коэффициентов искать нельзя (функция f(x), в отличие от предыдущего имеет другую структуру), а поэтому воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Будем искать решение уравнения в виде , где функции нужно искать из системы уравнений

Таким образом, общее решение исходного уравнения