Задания для самостоятельной работы

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Основные формулы комбинаторики

1. Элементы комбинаторики.

2. Размещения.

3. Перестановки.

4. Сочетания.

Элементы комбинаторики

Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соединениями.

Различают три основных вида соединений: размещения, перестановки и сочетания.

Задачи, в которых производится подсчет возможных различных соединений, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называются комбинаторными. Раздел математики, занимающийся их решением, называется комбинаторикой.

Размещения

Размещениямииз п элементов по т в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по т обозначается символом и вычисляется по формуле:

= п (п - 1)(п - 2}...[п - (п - 1)]. (1)

Пример 1.

Найти число размещений:

1) по 10 элементов по 4;

2) из (п+4) по (п – 2).

1) =10∙9∙8∙7 = 5040;

2) = (n + 4)(n + 3)…[n + 4 – (n – 2 - 1)] = (n + 4)(n + 3)…8∙7.

Пример 2.

Решить уравнение = 30 .

ОДЗ: n 5, n 5, n 5,

n – 2 4; n 2 + 4; n 6.

= n(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4)

= (n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5)

n(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4) = (n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5);

n(n – 1) = 30(n – 5);

n² – 31n + 150 = 0;

n₁=6, n₂=25.

Ответ: n₁=6, n₂=25.

Пример 3.

Вычислить значения выражений:

1) 5! + 6!;

2) ;

1) 5! + 6! = 5∙4∙3∙2∙1 + 6∙5∙4∙3∙2∙1 = 120 + 720 = 840;

2) = = 52∙51 = 2652.

Перестановки

Перестановкамииз п элементов называются такие соединения из всех п элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов.

Число перестановок из п элементов обозначается символом Р_п. Перестановки представляют частный случай размещений из п элементов по п в каждом, т. е.

Р_п = = п (п - 1)(п - 2) ...3.2.1 или Р_п= 12∙3...(п - 1) п (2)

Число всех перестановок из и элементов равно произведению последовательных чисел от 1 до п включительно. Произведение 1•2•3 ... (п—1)п обозначают символом п! (читается «п-факториал»), причем полагают 0! = 1, 1! = 1. Поэтому равенство (2) можно переписать в виде

Р_п = п! (3)

Используя формулу (3), формуле (1) можно придать вид

= = (4)

При решении задач часто используется равенство

=(n - m) (5)

Пример 4.

Составить всевозможные перестановки из элементов:

1) 1;

2) 5, 6;

3) a, b, c.

1) Р₁ = 1 (1);

2) Р₂ = 1∙2 (5,6), (6,5);

3) Р₃ = 1∙2∙3 = 6 (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (c,a,b), (c,b,a), (b,c,a),

Сочетания

Сочетаниями из п элементов по т в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из п элементов по т обозначается . Оно находится по формуле

= (6)

которую можно записать также в виде

= (7)

или

= (8)

Кроме того, при решении задач используются следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний:

= (0 m n)(9)

(по определению полагают = 1и = 1);

+ = (10)

Пример 5.

Вычислить:

1) ;

2) + .

1) = = = 15∙7 = 105;

2) + = +1 = +1 = 15 + 1 = 16.

Пример 6.

Решить систему уравнений = ,

= 66.

ОДЗ: х 2, (из 2-го уравнения)

= 66,

= 66,

x² – x – 132 = 0,

x₁ = - 11 (не удовлетворяет ОДЗ), x₂ = 12.

Подставим х = 12 в первое уравнение системы, получим

= , используя формулу (9), имеем =

= ,

12 – y = y + 2,

y = 12, y = 5.

Ответ: y = 12, y = 5.

Задания для самостоятельной работы

Задача1. Найдите число размещений: 1) , 2) .

Задача 2. Вычислите:

1) + + ;2) ; 3) .

Задача 3. 30 учащихся обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?

Задача 4. Сколькими способами из восьми кандидатов можно выбрать три лица на три должности?

Задача 5. Решите уравнения:

1) = 42х; 2) = ; 3) =5m(m + 1); 4) = 13; 5) =14 ;

6) =4 ;7) 20 = ;8) =15 .

Задача 6. Cоставьте всевозможные перестановки из букв: a, b, c, d.

Задача 7. Вычислите значения следующих выражений:

1) ; 2) ; 3) 6!(7! – 3!).

Задача 8. Докажите тождества:

1) = (m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4);

2) = (n - 2)(n - 3).

Задача 9. Сократите дроби:

1) ; 2) ; 3) .

Задача 10. Выполните действия:

1) + ; 2) - ;

3) .

Задача 11. Сколькими способами можно составить список из 10 человек?

Задача 12. Сколькими способами можно распределить 12 классных комнат под 12 учебных кабинетов?

Задача 13. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений?

Задача 14. Сколькими способами можно рассадить 7 человек по 7 местам?

Задача 15. Вычислите:

1) ; 2) ; 3) ; 4) + .

Задача 16. Проверьте равенства:

1) = ;

2) = ;

3) + = ;

4) + = ;

5) = ;

6) - = .