Синтетичний метод доведення нерівностей

Суть цього методу полягає в тому, що за допомогою певних перетворень нерівність, яку потрібно довести, виводять із деяких відомих (очевидних, або їх ще називають опорних) нерівностей. В ролі таких часто використовують нерівності:

а) Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru , б) Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru при Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru , в) Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru при Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru ,

г) Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru при Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Логічна схема такого доведення виглядає у вигляді імплікацій

Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru ,

де Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru - деяка початкова вірна нерівність, Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru - отримані з неї вірні нерівності, Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru - нерівність, яку потрібно довести. Даний метод є достатньо ефективним, проте не завжди зрозуміло, з яких очевидних нерівностей потрібно розпочинати доведення. Відповідь на це питання іноді може дати аналітичний метод, який ми розглянемо у наступному пункті.

Наведемо приклади деяких доведень, де використовується синтетичний метод.

Задача 1.2.1. Довести, що для довільних Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru , Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru виконується нерівність

Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Доведення. Нам відомо, що при заданих обмеженнях на змінні виконуються нерівності Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru , Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru . Застосувавши нерівність Коші до лівих частин записаних нерівностей та використавши записані вище співвідношення, дістаємо

Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru ,

або Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru . Рівність можлива тоді і тільки тоді, коли одночасно виконуються умови Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru та Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru , тобто, коли Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Задача 1.2.2. Довести, що Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru для Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Доведення. Використаємо у ролі опорних наступні нерівності Коші:

Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru , Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru , Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru ,…,

Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru , Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Перемноживши їх, дістаємо

Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Оскільки у першій опорній нерівності при Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru рівність неможлива, то остаточно отримуємо строгу нерівність, тобто, що Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Задача 1.2.3. Довести, що при Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru , Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru виконується нерівність

Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Доведення. Перший спосіб. Використаємо очевидні нерівності Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru , Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru та Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru . Додавши їх, дістаємо Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru . Запишемо одержане співвідношення у виді

Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru ,

або

Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Винісши у лівій частині нерівності за дужки вираз Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru , отримуємо нерівність, яку потрібно було довести. Знак рівності виконується при Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Другий спосіб. Використаємо розглянутий вище спосіб доведення нерівностей за допомогою означення. Для цього виконаємо наступні перетворення:

Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Отже, задана нерівність вірна.

Задача 1.2.4. Довести нерівність ( нерівність Коші – Буняковського)

Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Доведення. Розглянемо очевидні нерівності

Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru , Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru , , Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Додавши їх, отримаємо нерівність Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru , яка виконується при довільному дійсному числі Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru . Оскільки старший коефіцієнт Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru одержаного квадратного відносно Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru тричлена додатний, то його дискримінант не може бути додатним. Тому

Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Звідси отримуємо потрібну нерівність.

Задача 1.2.5. Довести, що для довільних додатних чисел Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru виконується нерівність Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Доведення. Використаємо, як опорні, дві очевидні нерівності Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru та Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru . Додаючи їх, отримуємо нерівність, яку потрібно було довести. Знак рівності виконується тільки у випадку, коли Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Задача 1.2.6. Довести, що для довільних дійсних чисел Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru виконується нерівність Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Доведення. Додавши очевидні нерівності Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru , отримуємо

Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

З одержаного співвідношення випливає нерівність, яку ми доводимо. Рівність виконується тільки у випадку Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Задача 1.2.7. Довести, що при Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru виконується нерівність

Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Доведення. Розглянемо очевидні нерівності

Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru , Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru , , Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Додавши їх, отримаємо нерівність

Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru ,

яка виконується при довільному дійсному числі Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru . Тому на дискримінант Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru одержаного відносно Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru квадратного тричлена накладаємо умову

Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Звідси отримуємо потрібну нерівність. Дещо пізніше ми розглянемо інші способи доведення подібних нерівностей, зокрема із використанням скалярного добутку та його властивостей.

Задача 1.2.8. Довести, що для довільних додатних чисел Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru виконується нерівність

Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru .

Розв’язання. Додавши три очевидні нерівності

Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru , Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru , Синтетичний метод доведення нерівностей - student2.ru ,

отримуємо потрібну нерівність.

Наши рекомендации