Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах
2.1 Уравнение вида
(1)
Легко решается в квадратурах путем п кратного интегрирования:
.
Часто произвольные постоянные не выписываются в явном виде, а подразумеваются включенными в интегралы.
2.2 Уравнение вида
(2)
которое не разрешимо в элементарных функциях относительно производной следует заменить двумя параметрическими уравнениями:
эквивалентными уравнению (2).
По определению, , или, в нашем случае, откуда
;
далее,
и т.д.
(Мы не пишем произвольных постоянных, включая их в знак неопределенного интеграла; если написать их явно, то, например, в выражении для появится член С1, в выражении для члены С2 и С1 х или и т.д.)
В результате получим:
Если из этих двух соотношений исключить t, получим общий интеграл уравнения (2).
П р и м е р 1.
Здесь разрешение относительно в элементарных функциях невозможно. За параметр t удобно взять , и мы получаем параметрические уравнения: = t , . Отсюда
далее,
или
Последняя формула вместе с выражением для х: дает параметрическое представление общего решения данного уравнения.
2.3 Уравнение вида
(3)
введением новой функции z : приводится к уравнению первого порядка , которое легко интегрируется методом разделения переменных:
Допустим, что это соотношение разрешено относительно z:
Заменяя z его значением , получим уравнение (п – 1)-го порядка:
Которое рассмотрено в разд. 2.1 ; при его интеграции войдут еще п – 1 произвольных постоянных, и мы получим общее решение уравнения (3) в виде:
.
2.4 Уравнение вида
(4)
приводится к квадратурам при любом натуральном п. Если оно легко разрешимо относительно старшей производной, то приходим к рассмотренному выше типу 2.3.
В противном случае уравнение (4) заменяем двумя параметрическими уравнениями
Тогда соотношение или дает нам откуда х получается квадратурой:
Далее находим последовательно:
и, наконец,
Т.е. опять представление у и х в функции параметра t и п произвольных постоянных , следовательно, общее решение.
П р и м е р 2.
Согласно изложенной теории, полагая , получаем уравнение первого порядка:
или
откуда
Дальше удобно интегрировать в параметрическом виде:
Отсюда находим:
Исключая параметр , получаем общий интеграл:
представляющий уравнение семейства всех окружностей радиуса а на плоскости х, у.
П р и м е р 3. Найти решение задачи Коши
Пусть тогда или Интегрируя полученное уравнение, находим общее решение:
Учитывая начальные условия, определим С1 и С2 :
Частное решение уравнения запишется в виде
2.5 Уравнения вида
(5)
также интегрируются в квадратурах. Введение нового переменного приводит
уравнение (5) к уравнению второго порядка: Если это уравнение разрешено относительно , т.е. имеет вид: то один из методов его интеграции таков: умножив обе части на , получаем: или в дифференциалах:
откуда
Последнее уравнение можно разрешить относительно производной и разделить переменные:
отсюда находим общий интеграл уравнения :
Этот интеграл при замене z на принимает вид:
т.е. уравнение вида (2); оно интегрируется, как мы уже знаем, квадратурами, причем эта интеграция дает еще п – 2 произвольных постоянных. И мы получим общее решение уравнения (5).
П р и м е р 4.
Полагая приходим к уравнению: ; умножим обе части на :
или
интегрируя, находим:
,
откуда
Вторая интеграция дает:
или
Чтобы решить последнее уравнение относительно z , выгодно поступить следующим образом: делим 1 на обе части последнего равенства:
в левой части освобождаемся от иррациональности в знаменателе, затем умножаем обе части на (-С1) и получаем:
Складывая это уравнение с исходным и деля на 2, получаем:
Подставляя вместо z его значение и интегрируя два раза, находим:
где А, В, С, D – произвольные постоянные.
2.6 Уравнение типа в параметрическом виде
Если уравнение (5) дано в не разрешенном относительно виде, но известно
его параметрическое представление
то интеграция совершается следующим образом. Мы имеем два равенства:
связывающих две неизвестные функции от t, именно х и у; исключая делением на dx, получаем дифференциальное уравнение для :
или, в силу параметрического представления, получим
откуда квадратурой находим далее получим:
.
Имея параметрическое представление и , мы свели задачу к типу 2.4. Дальнейшие квадратуры дадут п – 1 новых производных постоянных.