Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах

2.1 Уравнение вида

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru (1)

Легко решается в квадратурах путем п кратного интегрирования:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru .

Часто произвольные постоянные не выписываются в явном виде, а подразумеваются включенными в интегралы.

2.2 Уравнение вида

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru (2)

которое не разрешимо в элементарных функциях относительно производной следует заменить двумя параметрическими уравнениями:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

эквивалентными уравнению (2).

По определению, Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru , или, в нашем случае, Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru откуда

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru ;

далее,

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru и т.д.

(Мы не пишем произвольных постоянных, включая их в знак неопределенного интеграла; если написать их явно, то, например, в выражении для Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru появится член С1, в выражении для Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru члены С2 и С1 х или Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru и т.д.)

В результате получим:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Если из этих двух соотношений исключить t, получим общий интеграл уравнения (2).

П р и м е р 1. Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Здесь разрешение относительно Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru в элементарных функциях невозможно. За параметр t удобно взять Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru , и мы получаем параметрические уравнения: Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru = t , Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru . Отсюда

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

далее,

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

или

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Последняя формула вместе с выражением для х: Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru дает параметрическое представление общего решения данного уравнения.

2.3 Уравнение вида

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru (3)

введением новой функции z : Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru приводится к уравнению первого порядка Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru , которое легко интегрируется методом разделения переменных:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Допустим, что это соотношение разрешено относительно z:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Заменяя z его значением Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru , получим уравнение (п – 1)-го порядка:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Которое рассмотрено в разд. 2.1 ; при его интеграции войдут еще п – 1 произвольных постоянных, и мы получим общее решение уравнения (3) в виде:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru .

2.4 Уравнение вида

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru (4)

приводится к квадратурам при любом натуральном п. Если оно легко разрешимо относительно старшей производной, то приходим к рассмотренному выше типу 2.3.

В противном случае уравнение (4) заменяем двумя параметрическими уравнениями

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Тогда соотношение Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru или Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru дает нам Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru откуда х получается квадратурой:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Далее находим последовательно:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

и, наконец,

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Т.е. опять представление у и х в функции параметра t и п произвольных постоянных Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru , следовательно, общее решение.

П р и м е р 2. Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Согласно изложенной теории, полагая Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru , получаем уравнение первого порядка:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru или Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

откуда Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Дальше удобно интегрировать в параметрическом виде:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Отсюда находим:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Исключая параметр Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru , получаем общий интеграл:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

представляющий уравнение семейства всех окружностей радиуса а на плоскости х, у.

П р и м е р 3. Найти решение задачи Коши Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Пусть Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru тогда Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru или Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru Интегрируя полученное уравнение, находим общее решение:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Учитывая начальные условия, определим С1 и С2 : Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Частное решение уравнения запишется в виде Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

2.5 Уравнения вида

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru (5)

также интегрируются в квадратурах. Введение нового переменного Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru приводит

уравнение (5) к уравнению второго порядка: Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru Если это уравнение разрешено относительно Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru , т.е. имеет вид: Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru то один из методов его интеграции таков: умножив обе части на Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru , получаем: Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru или в дифференциалах:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

откуда

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Последнее уравнение можно разрешить относительно производной и разделить переменные:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

отсюда находим общий интеграл уравнения Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru :

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Этот интеграл при замене z на Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru принимает вид:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

т.е. уравнение вида (2); оно интегрируется, как мы уже знаем, квадратурами, причем эта интеграция дает еще п – 2 произвольных постоянных. И мы получим общее решение уравнения (5).

П р и м е р 4. Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Полагая Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru приходим к уравнению: Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru ; умножим обе части на Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru :

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru или Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

интегрируя, находим:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru ,

откуда

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Вторая интеграция дает:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru или Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Чтобы решить последнее уравнение относительно z , выгодно поступить следующим образом: делим 1 на обе части последнего равенства:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

в левой части освобождаемся от иррациональности в знаменателе, затем умножаем обе части на (-С1) и получаем:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Складывая это уравнение с исходным и деля на 2, получаем:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

Подставляя вместо z его значение Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru и интегрируя два раза, находим:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

где А, В, С, D – произвольные постоянные.

2.6 Уравнение типа Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru в параметрическом виде

Если уравнение (5) дано в не разрешенном относительно Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru виде, но известно

его параметрическое представление

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

то интеграция совершается следующим образом. Мы имеем два равенства:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

связывающих две неизвестные функции от t, именно х и у; исключая делением на dx, получаем дифференциальное уравнение для Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru :

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

или, в силу параметрического представления, получим

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru

откуда квадратурой находим Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru далее получим:

Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru .

Имея параметрическое представление Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru и Типы уравнений высших порядков, разрешаемые в квадратурах - student2.ru , мы свели задачу к типу 2.4. Дальнейшие квадратуры дадут п – 1 новых производных постоянных.

Наши рекомендации