Тема 9. Решение дифференциальных уравнений высших порядков

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ n-го порядка записывается в виде

. (9.1)

Например, ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде

(9.2)

или, если это возможно, в виде, разрешённом относительно старшей производной: .

Решением ДУназывается всякая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общее решение ДУ n-го порядкаявляется функцией вида , содержащей n произвольных, не зависящих от х постоянных.

Решить ДУ n-го порядка означает следующее: найти его общее или частное решение в зависимости от того, заданы начальные условия или нет.

Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.

Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.

1. Уравнение вида .(9.3)

Порядок можно понизить, введя новую функцию , положив . Тогда и получаем ДУ первого порядка: . Решив его, т.е. найдя функцию , решим уравнение . Получим общее решение заданного уравнения .

На практике поступают иначе: порядок понижается непосредственно последовательного интегрирования.

Т.к. , уравнение (9.3) можно записать в виде . Тогда, интегрируя уравнение , получаем: , или . Далее, интегрируя полученное уравнение по х, находим: , т.е. - общее решение данного уравнения.

Если дано уравнение , то, проинтегрировав его последовательно n раз, найдём общее решение уравнения: .

2. Уравнение вида , (9.4)

не содержащее явно искомой функции y.

Обозначим , где - новая известная функция. Тогда и уравнение (9.4) принимает вид . Пусть - общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию р на , получаем ДУ: . Оно имеет вид (9.3). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения (13.2) будет иметь вид .

Частным случаем уравнения (9.4) является уравнение , не содержащее независимую переменную х. Оно интегрируется тем же способом: , . Получаем уравнение с разделяющими переменными.

3. Уравнение вида , (9.5)

не содержащее явно независимой переменной х.

Для понижения порядка уравнения введём новую функцию , зависящую от переменной у, полагая . Дифференцируем это равенство по х, учитывая, что :

,

т.е. . Теперь уравнение (13.3) запишется в виде . Пусть - общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию на , получаем - ДУ с разделяющимися переменными:

Интегрируя полученное уравнение, находим общий интеграл уравнения (9.5):

.

Частным случаем уравнения (13.3) является ДУ . Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: , .

1.Решите уравнения:

а) .

Решение. Имеем уравнение первого типа (9.3). Последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение, получим

,

,

,

- общее решение ДУ четвёртого порядка.

б) .

Решение. Данное уравнение не содержит явно искомую функцию у. Значит, имеем уравнение второго типа (9.3). Полагаем , где , .

Тогда . Это уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получим

Возвращаясь к исходной переменной, получим

Интегрируя, получим

- общее решение ДУ второго порядка.

2.Найдите частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: .

Решение. Уравнение имеет вид (9.5). Положив , , получаем:

или .

Отсюда находим р:

Следовательно, .

Подставив начальные данные, получим:

.

Отсюда

Подставляем начальные данные:

.

Таким образом, частное решение имеет вид