Дискретное преобразование Фурье

Основы теории дискретных сигналов

Последние годы характеризуются быстрым развитием дискретных систем управления и систем передачи информации, в которых широко применяются математическое моделирование процессов фильтрации, основанное на использовании ЭВМ. Это направление оказывает большое влияние на развитие теории и техники цепей и сигналов.

Цифровые фильтры имеют ряд преимуществ. Основные из них: стабильность характеристик, недостижимая в аналоговых фильтрах – обусловлена преобразованием континуального сигнала в двоичное число, представленное стандартными сигналами (импульсами и паузами).

Дискретизация аналоговых сигналов

Аналоговым называется сигнал непрерывный во времени и по уровню.

Дискретным называют сигнал непрерывный по уровню и отличный от нуля в дискретные моменты времени.

Интервал дискретизации выбирается, исходя из теоремы Котельникова

, (4.1)

где - максимальная частота в спектре сигнала .

В дальнейшем будем использовать следующее соотношение

. (4.2)

Дискретный сигнал можно представить в виде произведения аналогового сигнала и дискретизирующей – функции

. (4.3)

Значения функции переходят в весовые коэффициенты – функций.

В дальнейшем будем предполагать

а)Сигнал существует только при . При .

b)Сигнал конечен во времени. – длительность сигнала, тогда количество выборок будет конечно и равно , а значит

, (4.4)

следовательно формулу (4.3) можно записать так

. (4.5)

Спектральная плотность дискретного сигнала

Дискретный сигнал – непериодический, а значит обладает сплошным спектром. Определим спектральную плотность, используя для этого прямое преобразование Фурье.

, (4.6)

а т.к. сигнал задан только для неотрицательного времени, то

. (4.7)

И в конечном итоге, используя основное свойство – функции

. (4.8)

Формулой (4.8) подтверждается известное свойство спектра дискретного сигнала – его периодичность. Если рассматривать спектральную плотность на кратных частотах

, (4.9)

то спектральная плотность будет величиной неизменной. – периодическая функция частоты с периодом равным периоду дискретизации.

Еще одной особенностью спектральной плотности дискретного сигнала является то, что она выражается в виде обычной суммы конечного числа слагаемых, равных .

Дискретное преобразование Фурье

При проведении спектрального анализа с использованием ЭВМ количество отсчетов спектральной плотности анализируемого сигнала должно быть ограничено, т.к. объем памяти ЭВМ ограничен, поэтому необходимо осуществить дискретизацию спектральной плотности. Пусть эта дискретизация осуществляется с шагом дискретизации по частоте . На рисунке 4.2 даны временные и частотные диаграммы процесса дискретизации.

После дискретизации аналогового сигнала спектр его становится периодическим (рисунок 4.2 b)), а дискретной спектральной плотности соответствует периодический дискретный сигнал (рисунок 4.2 c)).

Период нового сигнала определим следующим способом:

. (4.10)

Определим интервал дискретизации частоты

. (4.11)

Минимальное количество отсчетов спектральной плотности на одном периоде равно

, (4.12)

т.е. количество выборок в частотной области равно количеству выборок во временной области.

Подставим (4.11) в (4.8), получим

, (4.13)

, , (4.14)

где – номер отсчета спектральной плотности

Две последние формулы и есть аналитические выражения дискретного преобразования Фурье. иногда называют коэффициентами дискретного преобразования Фурье.

Формула (4.14) есть прямое дискретное преобразование Фурье. Есть также обратное преобразование Фурье

, . (4.15)

Недостатком дискретного преобразования Фурье является то, что при достаточно большом необходимо производить очень много операций умножения, а это занимает большой промежуток времени. А значит при большом количестве выборок невозможно провести обработку информации в реальном масштабе времени. Поэтому были разработаны алгоритмы быстрого преобразования Фурье.