Дискретное преобразование Лапласа

Для использования импульсных систем автоматического регулирования, а также в других прикладных задачах, связанными с решетчатыми функциями и разностными уравнениями, используется преобразование, определяемое формулой

F*(q)= Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru e-qnf[n] (1)

Где q=s+ Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru - комплексная переменная.

Оно называется дискретным преобразованием Лапласа, а также D-преобразованием и сокращенно обозначается D{f[n]}, т.е.

F*(q)=D{f[n]}

Функция F*(q), определяемая (1) называется изображением. Дискретное преобразование Лапласа может быть определено и для смещенных решетчатых функций в соответствии с формулой

F*(q, e)=D{f[n, e]}= Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru e-qnf[n, e] (2)

Где e- параметр, принимающий значения на отрезке [0,1].

Наряду с D - преобразованием в теории автоматического регулирования применяется так называемое Z-преобразование, определяемое (1), (2), в которых используется новая переменная

z=eq

F*z(z)= Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru z-nf[n]

Z-преобразование принято обозначать так

Z{f[n]}=F*z(z)

Если известно изображение F*(q) некоторой решетчатой функции, то соответствующее изображение F*z(z) может быть найдено с помощью замены комплексной переменной q по формуле

q=ln z®F*z(z)= F*(ln z)

Аналогично можно определить изображение F*(z)

F*(q)= F*z(eq).

Таким образом, принципиальной разницы между D - преобразованием и Z-преобразованием не существует. Все основные свойства Z-преобразования могут быть получены из соответствующих свойств D-преобразования.

Отметим, что D-преобразование решетчатой функции f[n] можно рассматривать как обычное преобразование Лапласа функции, состоящей из последовательности смещенных дельта-функций

g(t)= Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru f[n]d(t-n)

Применяя к этой функции преобразование Лапласа на основании фильтрующего свойства d-функции получим

L[g(t)]= Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru g(t)e-qtdt= Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru f[n] d(t-n)e-qtdt= Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru f[n] Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru d(t-n) e-qtdt=

= Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru f[n] e-qn=D{f[n]}

Формула обращения определяет решетчатую функцию f[n] по заданному изображению F*(q)

f[n]=D-1{F(q)} (n³0)

D-1-преобразование определяется формулой

f[n]= Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru F*(q)eqndq (n³0)

где с>de; de- абсцисса абсолютной сходимости.

Для смещенных решетчатых функций формула D-1-преобразования имеет вид

f[n,e]= Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru F*(q, e)eqndq

Наконец, формула обращения Z-преобразования, которая получается из предыдущей путем замены z=eq

f[n]= Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru F*(z, e)zn-1dt

интегрирование производится по окружности c радиуса eс, где c>se в положительном направлении. К последующему выражению можно применить теорему о вычетах, согласно которой получим

f[n]= Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru ResF*(z,e)zn-1 ½z=zn,

где z= zn - полюса функции F*(z, e)zn-1, лежащие внутри окружности с.

Однако более удобен путь разложения функции F*[z,e] в ряд Лорана по убывающим степеням z. Коэффициенты при соответствующих степенях z равны значениям оригинала в дискретные моменты времени t=nT, где n=0,1,2… Т. к. Z - преобразование представляет собой дробно-рациональную функцию, то разложение в ряд Лорана можно делать делением числителя на знаменатель выражения F*(z,e).

Таким образом, проводя разложение в ряд

F*(z,e)=a0(e)+a1(e)z-1+…+ an(e)z-n+…+…

Получаем f[n, e]=an(e), n=0, 1, 2…

Примеры

1. F*(q)=D{1[n]}= Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru e-qn1[n]

при условии, что Re q>0 этот ряд сходится, т.к. сумма ряда, изображение функции 1[n], равна

F*(q)= Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru e-qn= Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru , абсцисса абсолютной сходимости sl =0

F*(z)= Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru

2. D{ea n}, a- любое вещественное число

D{ ea n }= Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru e-q nea n= Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru e-n(q-a)= Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru = Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru ,

т.е. F*(q)= Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru , а F/(z)= Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru , где d=ea

Здесь абсцисса абсолютной сходимости sl=a

Найти оригинал, соответствующий изображению.

3. F*z(z)= Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru .

4. Разложим F*(z) в ряд Лорана путем деления числителя на знаменатель

_Tz ½Z2-2z+1

Tz-2T+Tz-1 z-1+2Tz-2+3Tz-3+

0_2T-Tz-1

2T-4Tz-1+2Tz-2

0_3Tz-1-2Tz-2

3Tz-1-6Tz-2+3Tz-3

0 4Tz-2-3Tz-3

получим f[n]=an=nT, n=0, 1, 2,… чему соответствуе непрерывная функция f(t)=t при T=1

4. F*z(z)= Дискретное преобразование Лапласа - student2.ru , где d=e-b;

f[n]=ne-b(n-1). Здесь Т=1

Наши рекомендации