Преобразование Фурье

Когда мы желаем представить периодическую функцию f(x) с периодом Преобразование Фурье - student2.ru в виде наложения чистых гармонических колебаний, мы обращаемся к ряду Фурье:

Преобразование Фурье - student2.ru

Если речь идет о функции с периодом Преобразование Фурье - student2.ru , то соответствующий ряд Фурье приобретает вид

Преобразование Фурье - student2.ru , где Преобразование Фурье - student2.ru .

Из двух последних равенств следует

Преобразование Фурье - student2.ru .

Формальный переход к пределу при Преобразование Фурье - student2.ru приводит к формуле

Преобразование Фурье - student2.ru ,

где символом Преобразование Фурье - student2.ru обозначен непрерывный аргумент, получающийся из дискретного аргумента Преобразование Фурье - student2.ru .

Итак, для функции f(x), определенной на всей числовой оси Преобразование Фурье - student2.ru , искомая формула представления в виде наложения гармонических колебаний должна иметь вид

Преобразование Фурье - student2.ru (1)

где Преобразование Фурье - student2.ru . (2)

Функция Преобразование Фурье - student2.ru , определяемая равенством (2) называется преобразованием Фурье функции f(x). Формула (1) называется формулой обращения преобразования Фурье или обратным преобразованием Фурье.

Покажем, что из (2) следует (1) при определенных предположениях относительно функции f(x).

Первое предположение состоит, естественно, в том, что функция f(x) интегрируема на всей оси Преобразование Фурье - student2.ru . Это обеспечивает существование интеграла (2) при любом значении Преобразование Фурье - student2.ru .

Утверждение. Если Преобразование Фурье - student2.ru , то Преобразование Фурье - student2.ru – ограниченная, непрерывная при всех Преобразование Фурье - student2.ru функция и при Преобразование Фурье - student2.ru она стремится к нулю.

Доказательство. Преобразование Фурье - student2.ru . Из этой оценки вытекает, что последовательность функций Преобразование Фурье - student2.ru , сходящаяся по норме пространства Преобразование Фурье - student2.ru переводится преобразованием Фурье в последовательность функций Преобразование Фурье - student2.ru , равномерно сходящуюся на всей оси Преобразование Фурье - student2.ru .

Второе и третье утверждения проверим сначала для характеристической функции интервала (c,d): Преобразование Фурье - student2.ru – непрерывная функция и стремится к нулю при Преобразование Фурье - student2.ru . Далее, любая ступенчатая функция является линейной комбинацией характеристических функций интервалов, любая суммируемая функция есть предел по норме Преобразование Фурье - student2.ru последовательности ступенчатых. По доказанному ее преобразование Фурье есть равномерный предел на оси Преобразование Фурье - student2.ru , непрерывных функций, стремящихся к нулю на бесконечности.

Утверждение доказано.

Теперь обратимся к доказательству формулы (1). Рассмотрим сначала интеграл в конечных пределах Преобразование Фурье - student2.ru

Внутренний интеграл сходится равномерно по параметру Преобразование Фурье - student2.ru : Преобразование Фурье - student2.ru и его оценка не зависит от Преобразование Фурье - student2.ru . Внешний интеграл от ограниченной функции в конечных пределах сходится. В силу следствия теоремы Фубини для неотрицательных функций существует двойной интеграл Лебега, который равен обоим повторным. Поэтому можно поменять порядок интегрирования:

Преобразование Фурье - student2.ru

Преобразование Фурье - student2.ru

Преобразование Фурье - student2.ru Преобразование Фурье - student2.ru

Теорема.Если функция f в точке x удовлетворяет условию Дини Преобразование Фурье - student2.ru при некотором Преобразование Фурье - student2.ru , то Преобразование Фурье - student2.ru при Преобразование Фурье - student2.ru .

Доказательство.Из курса математического анализа должно быть известно равенство Преобразование Фурье - student2.ru . Поэтому справедливо равенство

Преобразование Фурье - student2.ru .

Интеграл разобьем на две части Преобразование Фурье - student2.ru . Второе слагаемое можно записать в виде

Преобразование Фурье - student2.ru Преобразование Фурье - student2.ru .

Отсюда видно, что при данном x и заданном большом значении T это слагаемое делается как угодно малым независимо от значения N.

Первое слагаемое имеет вид

Преобразование Фурье - student2.ru и, так как функция Преобразование Фурье - student2.ru в заданном промежутке суммируемая по t (условие Дини), то это слагаемое стремится к нулю с возрастанием N по лемме, доказанной в процессе доказательства аналогичной теоремы о сходимости тригонометрического ряда Фурье.

Теорема доказана.

Итак, если функция Преобразование Фурье - student2.ru и удовлетворяет в точке x условию Дини, то её значение Преобразование Фурье - student2.ru восстанавливается по преобразованию Фурье Преобразование Фурье - student2.ru .

Подчеркнём, что интеграл (1) (обратное преобразование Фурье) не является, вообще говоря, абсолютно сходящимся и не может быть определен как Преобразование Фурье - student2.ru .

Наши рекомендации