Проверка гипотезы равномерного распределения

Задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот , причем (объем выборки). Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина X распределена равномерно.

Правило. Для того чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении , т.е. по закону

надо:

1. Оценить параметры и - концы интервала, в котором наблюдались возможные значения , по формулам (через и обозначены оценки параметров)

.

2. Найти плотность вероятности предполагаемого распределения

.

3. Найти теоретические частоты:

.

4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы , где - число интервалов, на которые разбита выборка.

Задача №658. Произведено n=200 испытаний, в результате каждого из которых событие А появлялось в различные моменты времени. В итого было получено эмпирическое распределение, приведенное в табл.1(в первой строке указаны интервалы времени в минутах, во второй – соответствующие частоты, т.е. число появления А в интервале). Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что время появления событий распределено равномерно.

Таблица 13

интервал	2-4	4-6	6-8	8-10	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20	20-22
частота

Составим гистограмму

Рис. 1

По виду гистограммы частоты отклоняются от некоторой прямой. Предположим, что имеем равномерное распределение.

Решение 1. Найдем оценки параметров и равномерного распределения по формулам: ,

Для вычисления выборочной средней и выборочного среднего квадратического отклонения примем середины интервалов в качестве вариант (наблюдаемых значений X). В итоге получим эмпирическое распределение равноотстоящих вариант:

Таблица 14

№ п/п
	2-4	4-6	6-8	8-10	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20	20-22

Таблица 15

№ п/п											∑

Пользуясь, например, методом произведений, найдем:

Следовательно:

2. Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения:

3. Найти теоретические частоты:

Длины третьего-девятого интервалов равны длине второго интервала, поэтому теоретические частоты, соответствующие этим интервалам и теоретическая частота второго интервала одинаковы, т.е.

.

4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы . Для этого составим таблицу.

Таблица 16

i
		17,4	3,7	13,69	0,79
			-4		0,80
			-5		1,25
					1,80
					0,20
			-6		1,80
					0,05
					0,20
			-2		0,20
		23,6	1,4	1,96	0,08
∑

Из расчетной таблицы получаем . По таблице находим . Так как < нет оснований отвергать гипотезу о равномерном распределении. Данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.

Контрольные вопросы.

1. Что называется статистической гипотезой?

2. Какие критерии согласия вы знаете?

3. Как определяется число степеней свободы? В каком критерии оно используется?

4. Когда необходимо объединять интервалы?

5. Можно ли использовать критерий , если имеется 20 опытных данных?

6. Может ли критерий согласия давать согласие с несколькими законами распределения?

Библиографический список.

1. Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2002.

2. ГОСТ 11. 006- 74. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим.

3. Шторм Р. Теория вероятностей. Математическая статистика. Статистический контроль качества. М.: Мир, 1970.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Таблица 17

Долговечность деталей, час

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Продолжение таблицы 17

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Продолжение таблицы 17

Время

час

№

п/п

.399

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Продолжение таблицы 17

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Окончание таблицы 17

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Таблица 18

Долговечность деталей, час

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Продолжение таблицы 18

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Продолжение таблицы 18

Время

час

№

п/п

.399

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п

Время

час

№

п/п