Тема 1. Дифференциальные уравнения

§1. Понятие о дифференциальном уравнении. Примеры торгово-экономических задач, приводящие к дифференциальным уравнениям. Порядок дифференциального уравнения. Семейство решений. Теорема существования и единственности решения (без доказательства). Задача Коши. Геометрическое истолкование решения. Общее и частное решение дифференциального уравнения.

Уравнения с разделяющимися переменными. Линейное урав­нение первого порядка. Возможные случаи понижения порядка дифференциального уравнения (на примере уравнений второго порядка), когда в его записи отсутствуют независимая переменная или искомая функция.

Литература: [1, гл.13, § 5], [2, гл. 21, §1 - 5, 9], [3, гл. 16, §79], [4, §2.14 - 2.17, стр. 99-108], [5, гл. 12, § 1, 3, 7, 10], [7, гл. 14, § 1-1.3].

Упражнения: [5, упр.2051, 2057, 7058, 2061, 2115, 2116], [6, упр. 5.14-5.18, 5.21], [7, гл. 6, упр. 1-4, 10-13, 20-23, 43-46].

§2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Структура общего решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Подбор частных решений при специальном виде правой части.

Литература: [1, гл.14], [2, гл. 12, § 7, 11- 13], (3, гл. 16, §80), [4, § 2.18-2.21, стр. 108-118], [5, гл. 12, § 8,9], [7, гл. § 2].

Упражнения: [5, упр. 2184 - 2187, 2213 - 2216, 2218], [6, упр. 5.22,5.23,5.25, 5.27, 5.29, 533, 5.37-5.39], [7, гл. 6, упр. 78--79, 84-87, 98-101, 104-106].

Тема 2. Ряды.

§1. Числовые ряды. Сходимость ряда. Сумма ряда Свойства рядов. Необходимое условие сходимости ряда: Теорема сравнения. Признаки сходимости Даламбера, Коши. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

Литература: [1, гл.15],[2, гл. 21, §1 - 7], [3, гл. XI], [4, § 2.22-2.26, 118-130], [5, гл. XIV, § 1], [7, гл. 8, § 1-3].

Упражнения: [5 упр. 2422-2424, 2432, 2433, 2435, 2437], [6, упр. 6.1, 6.15-6.18, 6.24, 6.39-6.42], [7, гл. 8, упр. 31-34, 43, 48].

§2. Степенные ряды. Радиус, интервал и область сходимости. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена или Тейлора.

Литература: [1,гл. 16, § 1- 5], [2, гл. 21, § 8 - 12, 14], [3,гл.12, 65-68], [4, § 2.27 - 2.29, стр. 130-137], [5, гл.14, § 3 -4], [7, гл. 8, § 4]

Упражнения: [5, упр. 2483- 2486, 2492. 2), 3)], [6, упр. 6.77­-6.80, 6.97, 6.111, 6.115, 6.98], [7, гл. 8, упр. l03-106, 119-122].

§ 3. Использование рядов для приближенных вычислений.

Литература: [1, гл.16, § 6], [2, гл. 21,.§ 13], [3, гл.12, § 69], [4;§2.29, cтp. 137-139], [5, гл. 14, § 5].

Упражнения: [5, упр. 2512, 2518, 2520], [6, упр. 6.125-6.127].

Вопросы для самопроверки

ТЕМА 1.

1. Что называется решением дифференциального уравнения? Что является неизвестной в дифференциальном уравнении? что называется порядком дифференциального уравнения?

2. Как из общего решения дифференциального уравнения первого (второго) порядка можно получить его частное решение? Каков геометрический смысл начальных условий дифференциальных

уравнений первого и второго порядка.

3. B чем заключается смысл теоремы о существовании и единственности решения для дифференциального уравнения первого порядка? Приведите пример дифференциального уравнения первого порядка, графики двух различных решений которого пересекаются в некоторой точке. Выполнятся ли в этой точке условия теоремы существования и единственности?

4. При каких условиях дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными?

5. Как решаются дифференциальные уравнения первого порядка?

6. В каких случаях линейное дифференциальное уравнение второго порядка называется oднopoдным, неоднородным?

7. Напишите характеристический многочлен уравнения у" + b _* у' + с * у = 0.

Пусть D– дискриминант характеристического многочлена. Какой вид имеет общее решение этого дифференциального уравнения при D > 0, при D = 0 и при D < 0?

8. Какова структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

ТЕМА 2.

1. Что называется суммой сходящегося степенного ряда?

2. Почему при исследовании сходимости ряда можно отбрасывать любое конечное число его членов?

3. Можно ли утверждать, что ряд сходится, если предел его общего члена равен нулю?

4. Сформулируйте признак Даламбера и интегральный признак Коши сходимости ряда. Сформулируйте теорему сравнения рядов.

5. Какие знакопеременные ряды называются абсолютно сходящимися и какие - условно сходящимися? Сформулируйте признак Лейбница.

6. Приведите примеры степенных рядов, имеющих нулевой, конечный и бесконечный радиус сходимости.

7. Выпишите разложения в ряд Маклорена функций: е^х, , sin х, ln(l + х). Каковы области сходимости получившихся рядов?

Рекомендуемая литература

Основная литература:

[1]. Карасев А. Н., Аксютина 3. М., Савельева Т. Н. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. – М.: Высшая школа, 1982.

[2]. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989.

[3]. Маркович Э. С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. – М.: Высшая школа,1972.

[4]. Высшая и прикладная математика. Конспект лекций. Часть I. Высшая математика. Выпуск 1. Основы математического анализа. – М.: МКУ, 1993

[5]. Минорский сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, l986.

[6]. Зайцев М.Б., Лавриненко Т.А Высшая математика. Сборник задач, часть 1. – М.: изд. МГУК, 1998.

[7]. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. – М.: Высшая школа, 1998.

Дополнительная литература:

[8] Шипaчев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая Школа, 1998.

[9] Данко П. Е., Попов А Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, П. – М.: Высшая школа, 1980.

[10]. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов./ под ред. Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1979.

[11]. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 1966.

[12]. Ильин В. А, Поздняк Э. Г. Основы математического анализа. Т. 1, 2. – М.: Наука, 1972.

[13]. Высшая математика для экономистов (под ред. проф. Н.М. Кремера). – М.: Банки и биржи, издательское объединение ЮНИТИ, 1998.

[14]. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Физматгиз, 1962