Тема 5: «Дифференциальные уравнения»

Пример 5.1. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения:

Данное уравнение является однородным уравнением

Разделяя переменные, получим:

Общее решение

Пример 5.2. Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющего начальным условиям

Найдем общее решение однородного уравнения

.

Составляем характеристическое уравнение

.

Полученное квадратное уравнение имеет действительные различные корни: k₁=1 k₂=-2. Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид

.

Пример 5.3. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения

,

Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Разделяя переменные, получим

.

Интегрируя обе части равенства:

Пример 5.4. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения ,

Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением

Сделаем подстановку . Тогда y=ux и y'=u'x+u.

Это и есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения.

Пример 5.5. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.

Сделаем подстановку y=uv; тогда y'=u'v+uv'.

Тогда данное уравнение примет вид

Пример 5.6. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения

Данное уравнение является дифференциальным уравнением Бернулли.

Сделаем подстановку y=uv; тогда y'=u'v+uv'.

Тогда данное уравнение примет вид

Пример 5.7. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения ,

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.

Сделаем подстановку х=uv; тогда х'=u'v+uv'.

Пример 5.8. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения .

Пример 5.9. Найти общий интеграл (решение) дифференциального уравнения, допускающего понижения порядка:

Решение.

Данное дифференциальное уравнение не содержит в явном виде искомую функцию y(x), следовательно, оно допускает понижение порядка. Для этого положим y''=p(x) Тогда y'''=dp/dx

и уравнение примет вид

Разделяя переменные, получим

Пример 5.10. Найти частный интеграл (решение) дифференциального уравнения, допускающего понижения порядка:

Это дифференциальное уравнение не содержит в явном виде независимой переменной x, следовательно, оно допускает понижение порядка. Положим y'=p(y), тогда

.

В результате, исходное уравнение примет вид

Пример 5.11. Найти частное решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка:

Составляем характеристическое уравнение

.

Полученное квадратное уравнение имеет действительные корни: k₁=0, k₂=4. Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид

.

Пример 5.12. Найти частное решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка:

Составляем характеристическое уравнение .

Полученное квадратное уравнение имеет комплексные корни: k₁=2+3i, k₂=2-3i.

Пример 5.13. Найти частное решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка:

однородное дифференциальное уравнение второго порядка.

соответствующее характеристическое уравнение

корни действительные и различные

Пример 5.14. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка:

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Составляем характеристическое уравнение

.

Полученное квадратное уравнение имеет действительные корни: k₁=6, k₂=6. Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид

.

Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения. Оно будет иметь такой же вид, как и правая часть неоднородного уравнения: f(x) , т.е. решение будем искать в виде k₁=k₂=6=а, кратность корня = 2

.

Находя производные этой функции

и подставляя их в исходное уравнение, получим

Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид

.

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид

Пример 5.15. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка:

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Составляем характеристическое уравнение

.

Полученное квадратное уравнение имеет действительные корни: k₁=0, k₂=2. Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид

.

Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения. Оно будет иметь такой же вид, как и правая часть неоднородного уравнения: f(x) , т.е. решение будем искать в виде k₁=0=а однократный корень характеристического уравнения

.

Находя производные этой функции

и подставляя их в исходное уравнение, получим

Найдем неизвестные коэффициенты A, B, C. Для этого сравним коэффициенты при одинаковых степенях x:

Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид

Пример 5.16. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка:

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Составляем характеристическое уравнение .

Полученное квадратное уравнение имеет комплексные корни: k₁=3+4i, k₂=3–4i.

Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения.

Оно будет иметь такой же вид, как и правая часть неоднородного уравнения:

а=0+4i не является корнем характеристического уравнения

Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид

и подставляя их в исходное уравнение, получим

Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид

Пример 5.18. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка: Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения .

Составляем характеристическое уравнение .

Полученное квадратное уравнение имеет действительные корни: k₁=0, k₂=-2. Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид

.

Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения. Оно будет иметь такой же вид, как и правая часть неоднородного уравнения:

.

и подставляя их в исходное уравнение, получим

Пример 5.19. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка: Найти общее решение линейного дифференциального уравнения методом вариации постоянных (методом Лагранжа):

.

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Составляем характеристическое уравнение

.

Общее решение однородного уравнения

Найдем частное решение неоднородного уравнения

Рассмотрим правую часть исходного уравнения

Решим задание через вронскиан

Так как , то выражения принимают значения

Пример 5.20. Найти решение системы дифференциальных уравнений:

Решение:

Пример 5.21. Найти решение системы дифференциальных уравнений:

Ответ:

Пример 5.22.

Найти функцию дохода , если известно, что величина потребления задаётся функцией , коэффициент капиталоёмкости прироста дохода , .

№ задачи
	C=3t	0,4

Найти функцию дохода , если известно, что величина потребления задаётся функцией , коэффициент капиталоёмкости прироста дохода , .

Решение:

Известно, что функция дохода равна

,

где – сумма инвестиций, – величина потребления.

А также имеет место дифференциальное уравнение

,

где – коэффициент капиталоёмкости прироста дохода. По условию задачи составим дифференциальное уравнение:

, или

Итак, функция дохода удовлетворяет линейному неоднородному уравнению первого порядка. Будем искать его решение в виде .

Тогда , подставим в уравнение

1) 2)

Общее решение или

Используя начальные условия , найдём :

или .

Итак, функция дохода имеет вид .

Задания к теме 5 «Дифференциальные уравнения»

Проинтегрировать данные уравнения или системы уравнений; если заданы начальные условия, то выделить частные решения:

1.

2.

3.

4.

5.

6. .

7.

8.

9. .

10.

11. .

12.

13. .

14.

15. .

16.

17. .

18.

19. .

20. ;

21. .

22. .

23.

24.

25.

26. .

27. .