Динамика материальной точки

Общие методические указания

При решении и оформлении задач необходимо соблюдать следующие требования:

1. Записать краткое условие задачи, выразить все известные величины в одной и той же системе единиц (как правило, в СИ). При необходимости ввести дополнительные постоянные физические величины.

2. Решение задач следует сопровождать краткими, но исчерпывающими объяснениями. При необходимости дать чертеж или график.

3. Решать задачу надо первоначально в общем виде, выразив искомую величину в буквенных обозначениях, заданных в условии задачи, затем произвести вычисления.

В конце каждой задачи дан ответ, кроме тех случаев, когда решение задачи предполагает только буквенное решение.

В течение семестра студенты выполняют две контрольные работы: первую – по механике, вторую – по молекулярной физике и термодинамике.

Результаты контроля аудиторной и самостоятельной работы студентов на практических занятиях учитываются лектором при приеме экзаменов и дифференцированных зачетов.

ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ

Основные законы и формулы

· Средняя и мгновенная скорости материальной точки

, ,

где – перемещение точки за время , – радиус-вектор, определяющий положение точки.

· Для прямолинейного равномерного движения ( )

,

где – путь, пройденный точкой за время .

· Среднее и мгновенное ускорения материальной точки:

, .

· Полное ускорение при криволинейном движении:

, ,

где – тангенциальная составляющая ускорения, направленная по касательной к траектории; – нормальная составляющая ускорения, направленная к центру кривизны траектории ( – радиус кривизны траектории в данной точке).

· Путь и скорость для равнопеременного движения материальной точки ( ):

; ,

где – начальная скорость, «+» соответствует равноускоренному движению, «-» – равнозамедленному.

· Угловая скорость

.

· Угловое ускорение

.

· Угловая скорость для равномерного вращательного движения твердого тела

,

где – угол поворота тела; – период вращения; – частота вращения ( – число оборотов, совершаемых телом за время ).

· Угол поворота и угловая скорость для равнопеременного вращательного движения твердого тела ( ):

; ,

где – начальная угловая скорость, «+» соответствует равноускоренному вращению, «-» – равнозамедленному.

· Связь между линейными и угловыми величинами:

; ;

;

где – расстояние от точки до мгновенной оси вращения.

Задания

1.1. Пароход идет по реке от пункта А до пункта В со скоростью 10 км/ч, а обратно – со скоростью 16 км/ч. Найдите: 1) среднюю скорость парохода, 2) скорость течения реки. [12,3 км/ч; 0,83 м/с].

1.2. Скорость течения реки 3 км/ч, а скорость движения лодки относительно воды 6 км/ч. Опреде­лите, под каким углом относительно берега должна дви­гаться лодка, чтобы проплыть поперек реки. [60°].

1.3. Велосипедист проехал первую половину времени своего движения со скоростью 16 км/ч, вторую половину времени — со скоростью 12 км/ч. Определите среднюю скорость движения велосипедиста. [14 км/ч].

1.4. Велосипедист проехал первую половину пути со скоростью 16 км/ч, вторую половину пути – со ско­ростью 12 км/ч. Определите среднюю скорость дви­жения велосипедиста. [13,7 км/ч].

1.5. Студент проехал половину пути на велосипеде со скоростью 16 км/ч. Далее в течение половины остав­шегося времени он ехал со скоростью 12 км/ч, а затем до конца пути шел пешком со скоростью 5 км/ч. Определите среднюю скорость движения студента на всем пути. [11,1 км/ч].

1.6. После удара клюшкой шайба скользит по льду с постоянным ускорением. В конце пятой секунды после начала движения ее скорость была равна 1,5 м/с, а в конце шестой секунды шайба остановилась. С каким ускорением двигалась шайба, какой путь прошла и какова была ее скорость на расстоянии 20 м от начала движения? [1,5 м/c²; 27 м; 4,6 м/с].

1.7. Тело, брошенное вертикально вверх, через 3 с после начала движения имело скорость 7 м/с. На какую максимальную высоту относительно места броска поднялось тело? Считать . Сопротивлением воздуха пренебречь. [67,6 м].

1.8. Тело падает вертикально с высоты 19,6 м с нулевой начальной скоростью. Какой путь пройдет тело: 1) за первую 0,1 с своего движения, 2) за последнюю 0,1 с своего движения? Считать . Сопротивлением воздуха пренебречь. [0,049 м; 1,9 м].

1.9. Тело падает вертикально с высоты 19,6 м с нулевой начальной скоростью. За какое время тело пройдет: 1) первый метр своего пути, 2) последний метр своего пути? Считать . Сопротивлением воздуха пренебречь. [0,4 с; 0,05 с].

1.10. С башни в горизонтальном направлении брошено тело с начальной скоростью 10 м/с. Пре­небрегая сопротивлением воздуха, определите для мо­мента времени = 2 с после начала движения: 1) ско­рость тела; 2) радиус кривизны траектории. Считать . [22 м/с; 109 м].

1.11. Камень брошен горизонтально со скоростью 5м/с. Определите нормальное и тангенциальное ускорения камня через 1 с после начала движения. Считать . Сопротивлением воздуха пренебречь. [4,45 м/с²; 8,73 м/с²].

1.12. Камень брошен горизонтально со скоростью 10 м/с. Найдите радиус кривизны траектории камня через 3 с после начала движения. Считать . Сопротивление воздуха не учитывать. [305 м].

1.13. Материальная точка начинает двигаться по ок­ружности радиусом = 2,5 см с постоянным тангенциальным ускорением =0,5 см/с². Определите: 1) момент времени, при котором вектор ускорения образует с вектором скорости угол 45°; 2) путь, пройденный за это время движущейся точкой. [1) с; 2) 1,25 см]

1.14. Линейная скорость точки, находящейся на ободе вращающегося диска, в три раза больше, чем линейная скорость точки, находящейся на 6 см ближе к его оси. Определите радиус диска. [9 см].

1.15. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением 3 рад/с². Определите радиус колеса, если через 1 с после начала движения полное ускорение колеса 7,5 м/с². [79 см].

1.16. Два автомобиля, выехав одновременно из одного пункта, движутся прямолинейно в одном направлении. Зависимость пройденного ими пути задается уравнения­ми и . Определите закон изменения относительной скорости автомобилей.

1.17. Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид и , где , , . Определите: 1) момент времени, для которого скорости этих точек будут равны; 2) ускорения и для этого момента. [1) 0; 2) – 4 м/с²; 2 м/с²].

1.18. Диск вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе диска, от времени задается уравнением ( = 0,3 м/с², = 0,1 м/с³). Определите радиус, если к концу 2-й секунды движения вектор полного ускорения образует с вектором скорости угол = 86°. [0,1 м].

1.19. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом , задается уравнением , где =4 м/с⁴. Определите: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время =5 с после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени = 1 с. [1)4 м/с²; 2)50 м; 3) м/с²].

1.20. Зависимость пройденного телом пути от времени выражается уравнением ( = 2 м/с, = 3 м/с², = 4 м/с³). Запишите выражения для скорости и ускорения. Определите для момента времени после начала движения пройденный путь, скорость и ускорение. [24 м; 38 м/с; 42 м/с²].

1.21. Зависимость пройденного телом пути от времени задаётся уравнением , где =5м, =4м/с, =1м/с². Запишите выражения для скорости и ускорения. Определите для момента времени после начала движения пройденный путь, скорость и ускорение. [2м; 2м/с; 2 м/с²].

1.22. Зависимость пройденного телом пути от времени задаётся уравнением , где =0,1м, =0,1м/с, =0,14м/с², =0,01м/с³. 1. Через сколько времени после начала движения ускорение тела будет равно 1м/с²? 2. Чему равно среднее ускорение тела за этот промежуток времени? [1) через 12с; 2) 0,64 м/с²].

1.23. Зависимость пройденного телом пути от времени задаётся уравнением , где =6м, =3м/с, =2м/с². Найдите среднюю скорость и среднее ускорение в интервале времени от 1с до 4с. [ =7м/с; =4м/с²].

1.24. Зависимость пройденного телом пути по окружности радиусом задается уравнением ( = 0,4 м/с², = 0,1 м/с). Для момента времени после начала движения определите нормальное, тангенциальное и полное ускорения. [0,27 м/с²; 0,8 м/с²; 0,84 м/с²].

1.25. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону , где - орты осей и . Определите для момента времени = 1 с модуль скорости и модуль ускорения. [6,7 м/с; 8,48 м/с²].

1.26. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону . Запишите зависимости скорости и ускорения от времени. Определите модуль скорости в момент времени = 2 с. [16,3 м/с].

1.27. Диск радиусом 10 см вращается вокруг не­подвижной оси так, что зависимость угла поворота ради­уса диска от времени задается уравнением ( =1 рад/с, =1 рад/с², = 1 рад/с³). Определите для точек на ободе диска к концу второй се­кунды после начала движения тангенциальное, нормальное и полное ускоре­ния. [1,4 м/с²; 28,9 м/с²; 28,9 м/с²].

1.28. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением ( =0,5 рад/с²). Определите к концу второй секунды после начала движения: 1) угловую скорость диска; 2) угловое ускорение диска; 3) для точки, находящейся на расстоянии 80 см от оси вращения, тангенциальное, нормальное и полное ускорения. [1) 2 рад/с; 2) 1 рад/с²; 3) 0,8 м/с²; 3,2 м/с²; 3,3 м/с²].

1.29. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением ( =0,1рад/с²). Определите полное ускорение точки на ободе диска к концу второй секунды после начала движения, если в этот момент линейная скорость этой точки 0,4 м/с. [0,25 м/с²].

1.30. Диск радиусом 0,2 м вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угловой скорос­ти от времени задается уравнением , где . Определите для точек на ободе диска к концу первой секунды после начала движения полное ускорение и число оборотов, сделанных диском за первую минуту движения. [5,8 м/c²; 15, 9].

1.31. Диск радиусом 10 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением ( = 2 рад, = 4 рад/с³). Определите для точек на ободе колеса: 1) нормальное ус­корение в момент времени 2 с; 2) тангенциальное ускорение для этого же момента; 3) угол поворота, при котором полное ускорение составляет с радиусом колеса 45°. [1) 230 м/с²; 2) 4,8 м/с²; 3) 2,67 рад].

1.32. Якорь электродвигателя, имеющий частоту вращения 50 с^-1, после выключения тока, сделав 628 оборотов, остановился. Определите угловое ускорение якоря. [12,5 рад/с²].

1.33. Колесо автомобиля вращается равнозамедленно. За время 2 мин оно изменило частоту вращения от 240 до 60 мин^-1. Определите: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время. [1) 0,157 рад/с²; 2) 300].

1.34. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найдите угловое ускорение колеса. [3,2 рад/с²].

1.35. Колесо спустя 1 мин после начала вращения приобретает скорость, соответствующую частоте 720 об/мин. Найдите угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных колесом за эту минуту. Движение считать равноускоренным. [1,26 рад/с²; 360].

1.36. Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило частоту вращения за 1 мин с 300 до 180 об/мин. Найдите угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных за это время. [ 0,21 рад/с²; 240].

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ