Поняття про умовний екстремум. Метод множників Лагранжа.

Тема: “ Екстремум та умовний екстремум функцій багатьох змінних”.

1. Необхідні та достатні умови екстремуму функції багатьох змінних. Умови відсутності екстремуму.

2. Поняття про умовний екстремум. Метод множників Лагранжа.

3. Розв'язування економічних задач.

Необхідні та достатні умови екстремуму функції багатьох змінних. Умови відсутності екстремуму.

Означення. Точка називається точкою максимуму (точкою мінімуму)функції, якщо існує окіл точки , для всіх точок якого виконується нерівність

( ).

Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму.

Графічна інтерпретація

Точка А — точка максимуму Точка В — точка мінімуму

Рис. 1 Рис. 2

Можливий ще й такий варіант екстремальної точки: так звана сідлова точка (рис. 3).

Точка С — сідлова точка

Рис. 3

Теорема 1 (Необхідні умови існування екстремуму).Якщо – точка екстремуму функ­ції , то частинні похідні або дорівнюють нулю, або не існують.

Доведення. Розглянемо функцію однієї змінної, визначеної умовами теореми в деякому околі точки дійсної осі. У точці функція має екстремум. Тоді, оскільки , то або , або не існує (за теоремою для функції однієї змінної).

Аналогічно доводимо випадки .◄

Означення. Точки, в яких функція визначена, а її частинні похідні дорівнюють нулю або не існують, називають критичними або стаціонарними точкамицієї функції.

Приклад. Для функції усі точки осі х є критичними, бо в кожній такій точці функція визначена, , а не існує. Точки екстремуму функції слід шукати лише серед її критичних точок.

Якщо для функції у точці екстремуму існують частинні похідні за всіма змінними, то всі вони дорівнюють у цій точці нулю:

(1)

Умови (1) не є достатніми умовами існування екстремуму.

Приклад. Для функції ці умови виконуються в початку координат, але ця точка не є екстремальною для розглядуваної функції, оскільки в околі точки (0,0) розглядувана функція набуває як додатних, так і від’ємних значень.

Означення. Точки, координати яких задовольняють систему рівнянь (1), називаються стаціонарними точками функції . Точки екстремуму диференційовної функції слід шукати лише серед її стаціонарних точок.

Теорема 2 (достатні умови екстремуму).Нехай функція — двічі неперервно диференційовна в околі стаціонарної точки . Тоді точка :

1) є точкою мінімуму функції, якщо

, (2)

причому рівність виконується лише за умови ;

2) є точкою максимуму функції, якщо

, (3)

причому рівність виконується лише за умови ;

3) не є точкою екстремуму, якщо набуває як додат­них, так і від’ємних значень.

Умови 1)—3) означають відповідно, що квадратична форма відносно диференціалів незалежних змінних

додатно визначена, від’ємно визначена, невизначена.

Зауваження. 1. Для функції однієї змінної квадратична форма зводиться до одночлена

де — досліджувана точка. Ця «форма» є визначеною — додат­ною при і від’ємною при .

2. Для функції двох змінних форма

при , буде визначеною (додатною при і від’ємною при ), а при — невизначеною.

Отже, якщо

1) то у стаціонарній точці функція має екстремум: — точка максимуму; — точка мінімуму;

2) — у точці функція не має екстремуму;

Сумнівний випадок.

Другий диференціал функції багатьох змінних

(4)

є симетричною квадратичною формою відносно диференціалів незалежних змінних .

Означення. Матриця квадратичної форми (4), елементи якої є частинними похідними другого порядку функції , тобто , називається матрицею Гессе:

(5)

Визначник матриці Н називається гессіаном.

У частинному випадку функції двох змінних достатні умови екстремуму з використанням гессіана формулюються так.

Теорема 3.Нехай функція z = f(x, y) двічі неперервно диференційовна в околі стаціонарної точки (x₀, y₀). Тоді точка (x₀, y₀):

1) є точкою мінімуму, якщо в ній

2) є точкою максимуму, якщо в ній

3) не є точкою екстремуму, якщо

4) потрібне додаткове дослідження за допомогою диференціалів вищих порядків, якщо

.

Приклад. Дослідити функцію на екстремум.

●1. Знаходимо частинні похідні першого порядку: ,

2. Розв’язавши систему рівнянь знаходимо стаціонарні точки і

3. Знаходимо частинні похідні другого порядку: ,

4. У точці визначники ∆₁ і ∆₂ відповідно такі:

∆₁ = 6 > 0,

У точці маємо: ∆₁ = – 6,

5. Отже, за теоремою 3 точка є точкою мінімуму; у точці екстремуму немає. Обчислюємо значення функції в точці мінімуму:

. ◄

Приклад. Дослідити функцію на екстремум.

1. Знайдемо частинні похідні першого порядку: .

2. Розв’язавши систему

знайдемо стаціонарну точку .

3. Знайдемо частинні похідні другого порядку:

4. Матриця Гессе має вигляд:

.

5. У точці всі головні мінори цієї матриці додатні:
D₁ = 2, D₂ = 3, D₃ = 6.

Отже, у точці функція має мінімум

.◄

Поняття про умовний екстремум. Метод множників Лагранжа.

Нехай на відкритій множині задано функції

і нехай Е — множина точок, координати яких задовольняють рівняння

(6)

Рівняння (6) називаються рівняннями зв’язку, або обмеженнями.

Означення.Точка називається точкою умов­ного максимуму (точкою умовного мінімуму) функції відносно рівняння зв’язку (6), якщо існує такий окіл точки х⁰, для всіх точок якого, що задовольняють рівняння зв’язку, виконується нерівність:

/ /

Приклад. Функція z = xy відносно рівняння зв’язку у точці (0, 0) має умовний мінімум, бо z = (0, 0) = 0, а в точках (e, e), що задовольняють рівняння зв’язку, значення функції додатні.

Означення. Точки умовного максимуму і мінімуму називають точками умовного екстремуму. Умовний екстремум називають іноді відносним екстремумом.

Геометрична інтерпретація (рис. 4).

Рис. 4

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму
(Метод виключення)

Якщо рівняння зв’язку

, , (7)

можна розв’язати відносно m змінних, наприклад, відносно змінних :

……………………

,

то дослідження функції на умовний екстремум при обмеженнях (7) зводиться до дослідження на звичайний (безумовний) екстремум функції змінних :

.

Приклад. Знайти умовний екстремум функції відносно рівнянь зв’язку:

,

●Розв’яжемо рівняння зв’язку відносно змінних x i y: ,

Підставимо знайдені значення x i y у вираз для u та зведемо задачу до дослідження на безумовний екстремум функції

, , якщо ;

тому — точка максимуму функції.

Отже, задана функція у точці має умовний максимум, що дорівнює ◄