Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа

Пусть на мн-ве Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru задана m+1 ф-ция Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru . Пусть Uo подмножество U, на котором Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru . (*)

Ур-ние (*) – ур-ния свзяи.

ОПР: Т. хо Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru наз. точкой усл. экстремума на мн-ве U при условии выполнения ур-ний связи (*), если она явл. обычн. т. локаль. экстремума f(x) на мн-ве Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru .

Прямой метод отыск. локальн. экстремума

Пусть требуется найти max или min ф-ции y=f(x1,x2,…xn) от перем x1,x2,…xn, которые связаны m соотношениями f1(x1,x2,…xn)=0 f2(x1,x2,…xn)=0 fm(x1,x2,…xn)=0. Разрешая эти соотнош. относит m переменных напр. x1,x2,…xn , мы выразим их через ост. n-m переменныe xn+1…xn. Подставл. эти соотн. в Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru мы получим ф-цию от xm+1…xn перемен. и придём к отысканию обычн локального min и max этой ф-ции.

Метод Лагранжа: Пусть ф-ции f1(Mo), f2(Mo), fm(Mo) непрерыв. диф-ма в нек. окр. точки Mо из простр. Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru . Если т. Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru явл. точкой условн. лок. экстремума ф-ции f0(Mo ) относит. ур-ний связи, то в этой точке графдиент Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru линейно зависимы, т.е. существуют числа Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru , что Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru

Следствие: в т. Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru условного экстр ф-ции f0(Mo) относит ур-ний связи (*) градиент Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru – линейно независимы, то найдутся числа Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru , что Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru или координаты в форме: Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru (1)

ОПР: Ф-ция F(Mo)=f(Mo)+ Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru наз-ся формулой Лагранжа, а Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru –множители лагранжа. Соотн. (1) означ, что точка Mo явл. критич. точкой ф-ции Лагранжа:

Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru

Вопрос 23 Числовые ряды, осн. определения, св-ва сходящихся рядов, критерий Коши сх-сти ряда, Признаки сх-ти числ. рядов с неотрицательными членами: Интегральный, сравнения, Даламбера, Коши, Теорема о перестановке членов ряда.

ОПР: Пара последовательностей Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru и Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru , где Sn=U1+U2+…+Un называется числ. рядом или бесконечной суммой и обознач. Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru . Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru а эл-ты пос-ти Sn-частичные суммы ряда. Если сущ. конечный предел Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru , то ряд – сходящийся и Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru . Если пос-ть не стремится к 0, то ряд расходится.

Простейшие свойства:

1. Ряды Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru и Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru либо оба сходятся, либо оба расходятся. (Очевидно, т.к. критерий Коши даёт для обоих рядов одно и то же неравенство. При этом если ряды сходятся, то Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru ) и Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru - n-ый остаток ряда.

2. Пусть Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru . Тогда Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru и Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru либо оба сходятся, либо оба расходятся. (Если обозначить Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru , то ясно, что Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru . Отсюда, если Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru , то Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru и т.п.).

3. Если Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru и Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru оба сходятся, то при Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru тоже сходится, причём Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru . ( Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru при Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru ).

Критерий Коши сх-сти ряда

Для того чтобы ряд сх-ся необх. и дост, чтобы для Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru нашлось бы число nε, такое, что для всех n> nε и целых p.

Док-во: Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru . Это утвержд. непосредств.=> из критерия Коши из последней сход-ти, поскольку Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru + Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru

Необходимый и достаточный признак сходимости: Если Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru , то Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru сходится тогда и только тогда, когда Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru ограничена (сверху). То, что ряд сходится, равносильно тому, что существует конечный Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru , а это, т.к. Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru не убывает, равносильно ограниченности сверху Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru .

Ряды с положительными членами

Если Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru , то Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru не убывает. (Действительно, Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru для Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru , т.е. Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru ).

Признак сравнения: Пусть даны 2 ряда Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru и Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru . Тогда из сходимости Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru следует сходимость Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru , из расходимости Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru следует расходимость Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru .

Док-во: а) Если ряд Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru сх-ся, то он имеет конечн. сумму σ. Тогда Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru . Пос-ть частичн. сумм Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru огранич. сверху, значит в силу леммы ряд Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru сх-ся.

б) Если ряд Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru расх-ся, то и и ряд Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru расх-ся, т.к. если это было не так и ряд Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru сх-ся, тов силу пункта а) Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru сх-ся.

Признак Даламбера: Пусть Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru . Если при Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru , начиная с некоторого, будет Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru , то Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru сходится, если же Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru , то Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru расходится.

Док-во: Пусть l<1. Выберем число q так, что l<q<1. Т.к. Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru , то найд. номер no, что при n>no выполн. нер-во Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru . Применим это нер-во последно для n=nо+1,nо+2…Получим Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru . Просуммируем эти нер-ва: Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru . Устремим Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru . Ряд Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru представл. собой сумму членов бескон. убыв. геометр. прогрессии. Значит в силу признака сравнения сх-ся и остаток ряда Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru , а значит и сам ряд сх-ся.

Радикальный признак Коши: Если для ряда Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru , =1,2… существует Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru , то при l < 1 ряд сх-ся, при l > 1 рас-ся.

Док-во: Пусть l<1, тогда из существ Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru для : l<q<1 найдётся номер no: ∀ nо выполн. нер-во Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru , n=nо+1,nо+2… Т.к. ряд Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru сх-ся, как бескон. убыв. геометр. прогрессия, то остаток ряда Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru , а значит и сам ряд сх-ся.

При Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru как в признаке Даламбера, так и в признаке Коши требуется дополнительное исследование.

Интегральный признак Коши-Маклорена: Пусть Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru , причём Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru непрерывна на Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru , монотонно убывает и Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru . Тогда Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru и Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Док-во: Пусть k≤x≤k+1, k=1,2… Т.к. f(x) убывает, то f(k)≥f(x)≥f(k+1). Проинтегрируем от k до k+1:

Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru

Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru

Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru

Проинтегрируем эти нерва от 1 до n: Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru

Замечание: Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru

Если ряд сх-ся и его сумма равна S, то мнжво интегралов Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru ограничено сверху, а в силу неотрицат Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru сх-ся.

Теорема о перестановке членов ряда.

Пусть ряд Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru с неотр. членами сх-ся и имеет сумму S, тогда новый ряд, полученный в рез-те перестановки членов исходн. ряда так же сх-ся и имеет ту же сумму.

Док-во: Пусть ряд Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru , а Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru его частичн. сумма. Слагаемые этой частичн. суммы входят в исх. ряд под номерами k1, k2,…kn. Обозначим N – наиб. из этих номеров, тогда пусть SN –частич. сумма исх. ряда. Тогда Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru . Т.к n произвольна и S’n возрастает и огранич. сверху, то новый ряд сх-ся и его сумма Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru . Предполагаем аналог. рассуждения, взяв за исход. ряд не Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru . тогда получим Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru , значит Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа - student2.ru .

Наши рекомендации