Езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа.

еобходимое и достаточное условие экстремума.

Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М00, у0) верно неравенство

езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru

то точка М0 называется точкой максимума.

Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М00, у0) верно неравенство

езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru

то точка М0 называется точкой минимума.

еорема. (Необходимые условия экстремума).

Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru , либо хотя бы одна из них не существует.

Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой.

еорема. (Достаточные условия экстремума).

Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:

езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru

1) Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если

езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru - максимум, если езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru - минимум.

2) Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума

В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.

Пример. Исследовать функцию езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru на экстремум.

Находим частные производные первого порядка и приравниваем их к нулю:

езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru

Стационарная точка данной функции имеет координаты езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru .

Вычислим вторые производные езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru .

Следовательно, езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru .

Экстремум имеется, т.к. езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru , то в точке езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru - минимум, езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru .

Метод множителей Лагранжа основан на том, что точка условного экстремума езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru функции езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru при условии езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru соответствует точке экстремума езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru функции езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru . Функция L называется функцией Лагранжа, а езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru - множителем Лагранжа.

Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент l так, чтобы выполнялась система трех уравнений:

езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru

Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум.

Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:

2x + 3y – 5 = 0

езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru

езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru

езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru

езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru

Таким образом, функция имеет экстремум в точке езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru .

етод градиентного спуска.

В случае функций нескольких переменных одним из наиболее простых численных методов отыскания экстремума является метод градиентного спуска. Из курса математического анализа известно, что градиент функции езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru равен езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru и направлен в сторону наискорейшего возрастания функции. Следовательно, при поиске минимума рационально двигаться в направлении, противоположном градиенту.

Пусть езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru начальное приближение минимума, последующее приближение езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru находим по формуле

езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru , (1)

где езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru находится из условия минимизации зависящей от езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru функции

езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru .

Данную формулу используют итерационно до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. При этом могут быть использованы критерии останова итераций, рассмотренные в методе координатного спуска.

ример.

Найти минимум функции езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru методом градиентного спуска, приняв за начальное приближение точку езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru .

Находим градиент функции езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru

езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru

Определяем минимум функции

езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru

пользуясь численным методом поиска экстремума функций одного переменного. В результате имеем езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru . По формуле (1) вычисляем приближение езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru

езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru .

Точка езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru является приближенным решением задачи, более точным чем заданное начальное приближение езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru . Если точку езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru взять за начальное приближение, то аналогично получим точку езусловная оптимизация. Метод множителей Лагранжа. - student2.ru еще ближе отстоящую от точки минимума и так далее.

Наши рекомендации