Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Дифференциальными уравнениями ( д. у.) 1-го порядка называются уравнение видаF(x, у, у¢) = 0(1)

или у¢ = f(x, у), что можно записать и так (1¢)

dу = f(x,у)dx. (1¢¢)

Обозначим через Д область существования решения (1) - (1¢¢).

Общим решением д.у. (1) - (1¢¢) называется функция у = , (2)

где С - произвольная константа, удовлетворяющая условиям:

а) она является решением д.у. при любом С;

б) при любых начальных условиях . (*)

, найдется такое значение С = С₀ , что функция

удовлетворяет условиям (*).

Нахождение такого С = С₀ по условиям (*) называется решением задачи Коши. Найденная таким образом функция называется иначе частным решением д.у.

Если решение д.у. найдено в виде Ф(х, у, С) =0, оно называется общим интегралом этого уравнения.

Д.у. с разделяющимися переменными.

Общий вид : m₁(x) * m₂(y) dx + n₁(x) * n₂(y)dx = 0,(m₂(y) ¹ 0 и n­₁(x) ¹ 0 ).(3)

Разделим переменные: . Тогда является общим интегралом уравнения (3)

2) Однородные д.у.

Общий вид:у¢ = f(x,y), (4)

где f(x,y) - однородная функция “нулевого измерения”, что означает выполнение условия f(tx,ty) = f(x,y) для любого t. (4) может быть приведено к виду (4¢):

. (4¢)

Подставной у = u * x приводится к уравнению с разделяющимися переменными : y¢ = u¢x + u.

; -

общий интеграл уравнения (4).

Линейное д.у. 1-го порядка.

Общий вид:

у¢ + Р(х) * у = Q (х) . (5)

Подстановка y = u * V, где u = u(x), V = V(x); y¢ = u¢V + uV¢.

u¢V + uV¢ + P(x) * uV = Q(x). (5¢)

Выберем V так, чтобы V¢ + P(x) * V = 0. Это - д.у. с разделяющимися переменными.

, тогда (5¢) будет иметь вид:

u¢V = Q (x), а это также д.у. с разделяющимися переменными (V уже найдено!): интегрируя, получим: .

Окончательно, . Общий вид (5).

4) Уравнение Бернулли.

Общий вид: y¢ + P(x) * y = Q(x) * yⁿ (6)

(n ¹ 0 и n ¹ 1). Метод решения - такой же, как линейного уравнения (5).

ЗАДАЧА № 1

1. ; 2. ;

3. ; 4. .

1. .

Переменные разделились.

Тогда ; .

Закончить самостоятельно.

2. После замены у = t * x, у¢ = t¢x + t имеем:

учитывая, что ,

Интеграл слева вычислить самостоятельно.

3.

Это - линейное уравнение, где ,

у = U * V, y¢ = U¢V + UV¢,

- уравнение с разделяющимися переменными. Т. к. то ;

- уравнение с разделяющимися переменными.

Окончательно,

- общий интеграл исходного уравнения (последний интеграл вычислить самостоятельно).

Далее по той же схеме, что и в предыдущем примере (закончить самостоятельно).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Общий вид:

F(x, y, y¢ , y¢¢) = 0(7)

или

y¢¢ = f (x, y, y¢). (7¢)

Начальные условия имеют вид

.(8)

Функция (9) называется общим решением (7) или (7¢) в соответствующей области Д (С₁,С₂ - произвольные константы), если при соответствующем выборе С₁ и С₂ эта функция дает частное решение (7), удовлетворяющее (8).

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Общий вид:

у¢¢ + а₁у¢ + а₂у = 0 . (13)

Составляем характеристическое уравнение:

к² + а₁к + а₂ = 0. (13¢)

Пусть к₁, к₂ - его корни. Возможны 3 случая:

а) корни вещественные, различные;

б) корни вещественные, равные: к₁ = к₂ = к (2-кратный корень);

в) корни комплексные, сопряженные к_1,2 = а ± iв, где i = ).

Вид общего решения (13) в каждом из этих случаев запишем в табл. 1 .

Таблица 1

Корни к1, к2	Общее решение (13) ( )
(а)	.
(б)	.
(в)	.

ЗАДАЧА № 2

1. у¢¢ - 4а₁₁² у¢ + 3а₁₁¹у = 0; 2. у¢¢ + 2а₂₂ у¢ + а₂₂²у = 0;

3. у¢¢ + а₂₁у¢ = 0; 4. у¢¢ + а₃₃²у = 0.

1. Характеристическое уравнение: .

Легко находим, что к₁ = 3а₁₁, к₂ = а₁₁ (корни вещественные, различные). Это 1-й случай табл. 1. Тогда - общее решение.

2. Характеристическое уравнение: .

Далее применить табл. 1 и самостоятельно записать у_о.о..

3. Характеристическое уравнение: .

Закончить пример самостоятельно.

4. Характеристическое уравнение: .

Закончить пример самостоятельно.

В следующих примерах найти частные решения д. у. (у_ч.о.), удовлетворяющие заданным начальным условиям.

5. у¢¢ - 3а₁₂ у¢ + 2а₁₂у = 0, у(1) = в₁, у¢(1) = в₂;

6. у¢¢ - а₂₂²у = 0, у(0) = в₂, у¢(0) = в₃.

5. Характеристическое уравнение:

Решить систему, найти С₁, С₂ и у_ч.о..

6. Характеристическое уравнение:

Решить систему, найти С₁, С₂ и у_ч.о..

НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ