Аксиоматизация множества действительных чисел

Конструктивное построение множества действительных чисел можно представить в виде схемы 3.

Непрерывными операциями мы называем вычислительные алгоритмы, состоящие из арифметических и других простых операций, пронумерованных натуральным рядом. Описание непрерывных операций потребует разработки вспомогательных понятий. Избежать такой дополнительной работы можно аксиоматическим заданием множества действительных чисел.

Добавим к аксиомам, определяющим в п. З. множество рациональных чисел Q, еще одну.

Аксиома непрерывности Кантора.

16. Пусть элементы x ,x ,…,x ,…,y ,y ,…,y ,… удовлетворяют условию x <x <…<x <…<y <…y <y и пусть для любого положительного элемента e>0, начиная с некоторого номера n, выполняются условия y –x < e, k = n, n+1, … . Тогда существует элемент Z такой, что при всех значениях n выполняется x < Z < y .

То, что элемент Z, о котором говорится в этой аксиоме, является единственным, несложно доказать от противного.

Определение 2

Множество R называется множеством действительных чисел, а его элементы действительными числами, если они удовлетворяют всем тем же аксиомам 1–15, что и рациональные числа и, дополнительно, аксиоме непрерывности Кантора.

О представлении действительных чисел

Мы видели, что формирование аксиоматик множеств натуральных рациональных и действительных чисел связано с выполнением определенных операций над числами. Система записи или представления чисел связана и с другими задачами.

Задача 1

Построить символьную запись числа, в которой эффективно реализуются алгоритмы арифметических и алгебраических операций. Мы уже отмечали, что наиболее подходящей для этой цели является систематическая запись числа (десятичная, двоичная и др.)

Задача 2

Построить представление чисел, в котором иррациональные числа приближаются рациональными числами наилучшим образом. Рациональная дробь p/q приближает иррациональное число a наилучшим образом, если для любого рационального числа m/n с n£q выполняется равенство |a–p/q| < |a–m/n|.

Рассмотрим десятичные приближения. Пусть m = a , a , …,a – десятичное приближение с “k” знаками после запятой числа a = a , a , …,a ,a ,… . Тогда погрешность этого приближения определяется разностью

|a–m/n| = a /10 +a /10 +…<9/10 (1+1/10+…) = 9/10 ´

1/(1–1/10) = 1/10 ~1/n.

Для лучших приближений используется представление иррационального числа цепной дробью [6]. Если p/q – конечная цепная дробь, приближающая число a, то ([6, с. 46]), |a–p/q| < 1/q .

Таким образом, представление числа цепной дробью «более экономично», чем представление десятичной дробью.

Напомним, что до сих пор не найдены эффективные алгоритмы арифметических операций для представлений чисел в виде цепных дробей, ([6, с. 29–30]).