Примеры. 1. Найти частные производные второго порядка:

1. Найти частные производные второго порядка:

а) .

Вначале находим частные производные первого порядка, затем искомые частные производные второго порядка.

б) .

Последовательно дифференцируя, находим:

.

2. Проверить, что для функции:

.

Дифференцируя по , найдем .

Дифференцируя по , найдем . (А)

Дифференцируем в другом порядке, по :

и по : (Б)

Сопоставляя (А) и (Б), заключаем, что для данной функции .

3. Проверить, что функция удовлетворяет дифференциальному уравнению .

Найдем частные производные, содержащиеся в данном уравнении:

;

Подставляя их в данное уравнение, получим тождество .

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Особые точки

1°. Пусть M и M₀ – точки данной поверхности. Проведем прямую MM₀. Плоскость, которая проходит через точку M₀, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей MM₀ и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние MM₀.

Поверхность в своей произвольной точке имеет либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

Касательная плоскость к поверхности в точке M₀ содержит касательные прямые ко всем кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Пусть поверхность задана уравнением . Рассмотрим на ней точку . Будем предполагать, что , и одновременно не равны нулю. На поверхности через точку проведем всевозможные линии L и касательные прямые к этим линиям. Справедлива следующая теорема:

Теорема. Касательные прямые, проведенные к всевозможным линиям поверхности в точке , лежат в одной плоскости, называемой касательной плоскостью. Нормальный вектор касательной плоскости .

Доказательство.

2°. Нормальюк поверхности в точке M₀ называется прямая, проходящая через точку касания M₀ перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

Нормальный вектор касательной плоскости одновременно является и направляющим вектором нормали.

Если поверхность задана уравнением , где – функция, дифференцируемая в точке , касательная плоскость в точке существует и имеет уравнение:

. (1)

Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

(2)

Если поверхность задана уравнением и точка лежит на ней, то касательная плоскость к поверхности в точке определяется уравнением:

. (3)

Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

. (4)

Равенство нулю в точке касания одной из частных производных, означает, что касательная параллельна той оси, по какой переменной частная обращается в нуль. Например, означает, что касательная плоскость параллельна оси Ох, а нормаль лежит в плоскости .

3°. Точки поверхности , в которых одновременно обращаются в нуль все частные производные первого порядка , , , называют особыми. В таких точках поверхность не имеет ни касательной плоскости, ни нормали.

Особые точки плоской кривой (функция одной переменной). Обозначим значения частных производных в особой точке через: , и . Возможны три случая:

1) - через особую точку проходит 2 касательных, точка называется узлом.

2) - в особой точке нет касательных, точка называется изолированной.

3) - или изолированная точка, или точка возврата, или точка самосоприкосновения. В точках возврата и самосоприкосновения существует одна общая касательная к двум ветвям кривой. Чтобы в третьем, сомнительном случае решить вопрос однозначно, нужно узнать, имеются ли точки кривой в сколь угодно малой окрестности исследуемой точки