Примеры. 1.Найти частные производные функции:

1.Найти частные производные функции:

а) .

Считая функцией одной переменной – аргумента , находим

;

аналогично для случая, если функция одной переменной – аргумента :

б) .

Считая функцией одной переменной – только аргумента , затем только и далее только , находим

;

;

.

в) .

Перепишем функцию в виде и найдем частные производные, полагая

и .

и .

2.Вычислить значения частных производных функции при указанных значениях аргументов:

а) ; , .

;

; .

3.Проверить, что данная функция удовлетворяет уравнению .

Преобразуем функцию и найдем ее частные производные.

;

Подставим найденные частные производные и функцию в преобразованном виде в исходное уравнение:

Тождество доказано. Это означает, что данная функция удовлетворяет указанному уравнению (является его решением).

5. Дифференциалы ФНП. Геометрический смысл полного дифференциала

1°. Частным дифференциалом по х функции называется главная часть соответствующего частного приращения , линейная относительно приращения Dх (или, что то же, дифференциала ).

Аналогично определяются частные дифференциалы функции по каждому из остальных аргументов. Обозначаются, соответственно, , , …

Из определения частных производных следует

, , …

2°. Для функции выражение

(1)

называется полным приращением.

Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то

Применим теорему Лагранжа к выражениям, стоящим в квадратных скобках.

здесь

Тогда получаем

Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства:

Если функция определена в окрестности точки и имеет непрерывные частные производные в этой точке, то полное приращение можно выразить в виде

или

,

где a₁…a_n – бесконечно малые функции при Dх®0, Dу®0 … Dt®0 соответственно;

; .

3°. Полным дифференциаломфункции называется главная часть ее полного приращения (1), линейная относительно приращений ее аргументов (или, что то же, дифференциалов ).

Полный дифференциалфункции , если он существует, равен сумме всех ее частных дифференциалов

4°. Функция называется дифференцируемой в точке, если в этой точке она имеет полный дифференциал. Если функция дифференцируема в каждой точке области, то она называется дифференцируемой в этой области.

Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х₀, у₀) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х₀, у₀) к точке (х₀+Dх, у₀+Dу).

Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.