Частные производные первого порядка

Полный дифференциал.

Определение 6. Частной производной попеременной «х» от функции Частные производные первого порядка - student2.ru называется предел отношения частного приращения Частные производные первого порядка - student2.ru к приращению Частные производные первого порядка - student2.ru при стремлении последнего к нулю.

Частная производная по х обозначается одним из символов

Частные производные первого порядка - student2.ru , Частные производные первого порядка - student2.ru Частные производные первого порядка - student2.ru , Частные производные первого порядка - student2.ru .

Согласно определению

Частные производные первого порядка - student2.ru . (6)

Определение.7. Частной производной по у от функции Частные производные первого порядка - student2.ru называется предел отношения частного приращения Частные производные первого порядка - student2.ru к приращению Частные производные первого порядка - student2.ru при стремлении последнего к нулю.

Частная производная по у обозначается символами

Частные производные первого порядка - student2.ru , Частные производные первого порядка - student2.ru , Частные производные первого порядка - student2.ru , Частные производные первого порядка - student2.ru .

Согласно определению

Частные производные первого порядка - student2.ru . (7)

Из этих определений следует правило, по которому следует вычислять частную производную.

Частная производная Частные производные первого порядка - student2.ru вычисляется от функции Частные производные первого порядка - student2.ru по переменной х при постоянной у.

Частная производная Частные производные первого порядка - student2.ru вычисляется по переменной у при постоянной х.

При вычислении частных производных применяют все приемы вычислений производных сложных функций.

Пример 4. Вычислить частные производные функции Частные производные первого порядка - student2.ru

Решение.

Частные производные первого порядка - student2.ru – здесь Частные производные первого порядка - student2.ru играет роль постоянного множителя,

Частные производные первого порядка - student2.ru – в данном случае Частные производные первого порядка - student2.ru числовой множитель, а производную от Частные производные первого порядка - student2.ru вычисляем «по цепочке».

Пример 5. Вычислить частные производные функции Частные производные первого порядка - student2.ru .

Решение.

Частные производные первого порядка - student2.ru , вновь переменная «у» равна постоянной, и мы использовали формулу производной степенной функции Частные производные первого порядка - student2.ru .

Частные производные первого порядка - student2.ru , потому что Частные производные первого порядка - student2.ru , и мы используем формулу производной показательной функции Частные производные первого порядка - student2.ru .

Пример 6. Вычислить частные производные функции трех переменных Частные производные первого порядка - student2.ru .

Решение.

Частные производные первого порядка - student2.ru , Частные производные первого порядка - student2.ru , Частные производные первого порядка - student2.ru .

Физический смысл частных производных остается прежним: они характеризуют скорость изменения функции по переменным «х» и «у» отдельно.

С геометрической точки зрения производная функции одной переменной численно равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси OХ.

Для функции двух переменных касательная «переходит» в касательную плоскость к поверхности, определяемой уравнением Частные производные первого порядка - student2.ru .

Для функций, содержащих большее число переменных, геометрическую интерпретацию частных производных дать нельзя.

ПДифференциал

Возникает вопрос, а не существует ли одной, общей производной для функции двух или больше аргументов? Нет, не существует. Но общее изменение функции можно охарактеризовать с помощью полного дифференциала Частные производные первого порядка - student2.ru , как главной части приращения функции. Для функции одной переменной Частные производные первого порядка - student2.ru дифференциал равен Частные производные первого порядка - student2.ru . Для функции двух переменных логично ожидать сумму «частных дифференциалов» по обеим переменным. Строгое доказательство этого утверждения можно найти в рекомендуемой литературе. Мы ограничимся определением и покажем его применение для решения задач.

Определение 8 . Пусть функция Частные производные первого порядка - student2.ru непрерывна вместе со своими частными производными по х и у. Полным дифференциалом Частные производные первого порядка - student2.ru называется сумма произведений частных производных на дифференциалы соответствующих независимых переменных, т.е.

Частные производные первого порядка - student2.ru . (.8)

Это выражение является аналогом формулы для дифференциала функции одной переменной. Известно, что дифференциал функции приближенно равен ее приращению: Частные производные первого порядка - student2.ru . Поэтому значение функции в точке Частные производные первого порядка - student2.ru можно определить из приближенного равенства:

Частные производные первого порядка - student2.ru , (.9)

где dx и dy – приращения аргументов «х» и «у» соответственно.

Пример 7. Найти полный дифференциал «dz» и полное приращение

« Частные производные первого порядка - student2.ru » для функции Частные производные первого порядка - student2.ru , если координаты начальной и конечной точек

М0( Частные производные первого порядка - student2.ru , Частные производные первого порядка - student2.ru ,) и М1( Частные производные первого порядка - student2.ru , Частные производные первого порядка - student2.ru

Решение. Найдем значения функции в заданных точках:

Частные производные первого порядка - student2.ru и Частные производные первого порядка - student2.ru Частные производные первого порядка - student2.ru .

по таблице логарифмов или при помощи калькуляторов. Определим приращение функции:

Частные производные первого порядка - student2.ru .

Найдем дифференциалы аргументов, как их приращения:

Частные производные первого порядка - student2.ru , Частные производные первого порядка - student2.ru .

Тогда Частные производные первого порядка - student2.ru ,

Частные производные первого порядка - student2.ru

и, окончательно, получаем

Частные производные первого порядка - student2.ru .

Сравним приращение и дифференциал по их разности:

Частные производные первого порядка - student2.ru , т.е. они мало отличаются друг от друга. Поэтому в вычислениях можно использовать формулу 9:

Частные производные первого порядка - student2.ru .

Найдем относительную погрешность вычислений:

Частные производные первого порядка - student2.ru ,

что говорит о достаточной степени точности проведенных вычислений.

В разных точках функция имеет различные значения частных производных, поэтому дифференциалы будут разными. По ним можно судить о степени возрастания и убывания функции.

Наши рекомендации