Частные производные второго порядка

Определение.Частными производными второго порядка от функции Частные производные второго порядка - student2.ru называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

Обозначения частных производных второго порядка:

Частные производные второго порядка - student2.ru Для практических примеров справедливо следующее равенство: Частные производные второго порядка - student2.ru

Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверять правильность нахождения частных производных первого порядка.

Примеры.

а) Найти частные производные второго порядка функции Частные производные второго порядка - student2.ru

Решение.

1.Считаем переменную y константой, применяем правило дифференцирования суммы, правило вынесение постоянного множителя за знак производной и табличную производную степенной функции:

Частные производные второго порядка - student2.ru

2. Полученную функцию еще раз продифференцируем по «икс», т.е. найдем вторую производную по «икс»:

Частные производные второго порядка - student2.ru

3.Считаем переменную х константой, применяем правило дифференцирования суммы, правило вынесение постоянного множителя за знак производной и табличную производную степенной функции:

Частные производные второго порядка - student2.ru

4. Полученную функцию еще раз продифференцируем по «игрек», т.е. найдем вторую производную по «игрек»:

Частные производные второго порядка - student2.ru

5. Найдем смешанную производную «икс по игрек». Для этого первую производную по «икс» продифференцируем по «игрек».

Частные производные второго порядка - student2.ru

5. Найдем смешанную производную «игрек по икс». Для этого первую производную по «игрек» продифференцируем по «икс».

Частные производные второго порядка - student2.ru

б) Найти частные производные первого порядка функции Частные производные второго порядка - student2.ru Проверить, что Частные производные второго порядка - student2.ru Записать полный дифференциал первого порядка dz.

Решение.

1.Найдем частные производные первого порядка, применяя правила вычисления производной произведения, суммы, вынесения постоянного множителя за знак производной и табличные интегралы тригонометрических функций:

Частные производные второго порядка - student2.ru

2. Найдем смешанные производные второго порядка:

Частные производные второго порядка - student2.ru

Частные производные второго порядка - student2.ru Частные производные второго порядка - student2.ru

3. Составим полный дифференциал первого порядка:

Частные производные второго порядка - student2.ru

в) Показать, что данная функция Частные производные второго порядка - student2.ru удовлетворяет уравнению Частные производные второго порядка - student2.ru

Решение.

1.Найдем частную производную заданной функции по «икс»:

Частные производные второго порядка - student2.ru

2. Умножим полученное выражение х2:

Частные производные второго порядка - student2.ru

3. От полученной функции найдем частную производную по «икс»:

Частные производные второго порядка - student2.ru

4. Найдем частную производную заданной функции по «игрек»:

Частные производные второго порядка - student2.ru

5. Вычислим вторую производную по «игрек»:

Частные производные второго порядка - student2.ru

6. Умножим полученную функцию на у2:

Частные производные второго порядка - student2.ru

7. Вычтем из результата, полученного в п.5, результат п.6:

Частные производные второго порядка - student2.ru

Что и требовалось показать.

Наши рекомендации