Приклади. Дослідити на збіжність інтеграли.

4. .

Підінтегральна функція задовольняє нерівність

.

Розглянемо інтеграл , тому він збігається. Користуючись першою ознакою порівняння, стверджуємо, що теж збігається.

5. .

Підінтегральна функція неперервна і додатна при , причому справджується така нерівність:

.

Розглянемо інтеграл - він розбігається , тому за ознакою порівняння, отримаємо, що інтеграл теж розбігається.

Невласні інтеграли другого роду (від необмежених функцій)

Як відомо, необхідною умовою інтегрованості функції на відрізку є її обмеженість. Проте є задачі, що приводять до розгляду інтеграла від функції, яка майже на всьому відрізку обмежена і стає необмеженою поблизу деякої точки, наприклад, поблизу однієї чи обох меж. Тоді природно поширити поняття визначеного інтеграла і на такі функції, ввівши при цьому додаткові означення.

Отже, нехай функція задана на відрізку , крім, можливо, кінців, і є необмеженою, наприклад, поблизу точки , зокрема на відрізку , де . Нехай є обмеженою і інтегрованою на будь-якому відрізку . Точку при цьому називають особливою точкою функції .

Означення 1. Невласним інтегралом другого роду функції на проміжку називається границя і позначають

. (3.5)

Якщо ця границя скінчена, то інтеграл називається збіжним. Якщо границя нескінченна, або взагалі не існує, тоді інтеграл називається розбіжним. Функція при цьому називається інтегрованою на даному проміжку.

Нехай тепер функція є обмеженою і інтегрованою на будь-якому відрізку , і не є інтегрованою на відрізку .

Означення 2. Невласним інтегралом другого роду функції на проміжку називається границя і позначають

. (3.6)

У цьому випадку точка вважається особливою точкою функції .

Збіжність (розбіжність) інтеграла й інтегрованість функції на відповідному проміжку визначають так само, як і для інтеграла (3.5). Інші можливі випадки можуть бути зведені до вже розглянутих.

Розглянемо випадок, коли особливими точками функції є одночасно точки й . Це означає, що функція необмежена на та на , а на будь-якому відрізку вона є інтегрованою .

Тоді покладають , де - довільна точка інтервалу .

В цьому разі . (3.7)

Іноді може трапитися випадок, коли підінтегральна функція є необмеженою поблизу точки , яка знаходиться всередині відрізка . В інших частинах відрізка функція інтегрована. Тобто точка є особливою точкою функції .

Тоді покладають , але тепер у цій рівності обидва інтеграла правої частини означаються формулами (3.5) та (3.6). Позначають: . (3.8)

Висновок про збіжність інтеграла у формулах (3.7) та (3.8) роблять тільки в тому випадку, коли обидві границі правих частин цих формул, знайдені незалежно одна від одної, існують і скінченні. Інтеграл розбігається, якщо хоча б одна з цих границь нескінченна або взагалі не існує.

Зауважимо, що ознаки збіжності невласних інтегралів другого роду аналогічні подібним ознакам для інтегралів першого роду. При дослідженні на збіжність інтегралів, де особливою точкою є точка , для порівняння використовують функції , інтеграл від яких збігається, якщо і розбігається, якщо . Якщо особливою точкою функції є точка , використовують функції , інтеграл від яких так само збігається при і розбігається при .