Магнитное поле тороида и соленоида

Закон полного тока (1.5.10) часто используют для расчета индук-ции магнитного поля постоянного электрического тока. Для примера рассмотрим применение закона полного тока для расчета индукции магнитного поля соленоида и тороида.

Соленоид–это катушка индуктивности в виде намотанного на ци-линдрическую поверхность изолированного проводника, по которому течет электрический ток. Рассмотрим соленоид длиной l, имеющей N витков. Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, то есть рассматриваемый соленоид бесконечно длинный. Внутри соленоида поле является однородным, вне соленоида – неоднородным и очень слабым, и чем длиннее соленоид, тем меньше магнитная индукция вне его. Поэтому будем считать, что поле бесконечно длинного соле-ноида сосредоточено целиком внутри него.

Для нахождения магнитной индукции выберем замкнутый пря-моугольный контур ABCDA (рис. 1.6.1) Согласно теореме о цирку-

ляции вектора H:

∫ Hl dl = NI.

(1.6.1)

ABCDA

_D A

C B

Рис. 1.6.1

Интеграл по ABCDA можно представить в виде интегралов по AB; BC; CD; DA.На участках AB и CD контур перпендикулярен линияммагнитной индукции и H_l = 0. На участке CB вне соленоида Н = 0, а на участке DA контур совпадает с линией магнитной индукции и циркуляция вектора H равна

∫ Hl dl = Hl = NI.	(1.6.2)
DA

Из последнего уравнения получаем, что напряженность магнит-ного поля соленоида:

	NI	(1.6.3)
H =	l = nI ,

где n – число витков соленоида, приходящихся на единицу длины . Используя формулу (1.1.1), выражаем индукцию магнитного поля

соленоида:

B =μμ0	N	I =μμ0nI.	(1.6.4)
l

Тороид–это кольцевая катушка с витками,намотанными на сер-дечник, имеющий форму тора, по которому течет электрический ток.

Пусть R₁ и R₂ соответственно внешний и внутренний радиусы се-чения тороида. Общее число витков тороида с током I равно N.

Если r < R2, то контур не охватывает проводники	с током,
N
∑Ik = 0, и по закону полного тока
i=1
∫ Hdl cosα=2πrH =0⇒ H =0.	(1.6.5)
L

Если r > R₁, то контур охватывает 2N проводников с током I. По-ловина из них идет в одном направлении, а половина – в обратном на-правлении (рис. 1.6.2). Поэтому алгебраическая сумма токов во всех проводниках равна нулю, и поэтому

2 πrH = 0 ⇒ H = 0.

(1.6.6)

r

R₂

Рис. 1.6.2

R₁

Из полученного результата следует, что вне тороида магнитное поле отсутствует. Магнитное поле сосредоточено внутри объема (R₂ ≤ r ≤ R₁) тороида. Линии магнитной индукции в данном случае есть окружно-сти, центры которых расположены на оси тороида. В этом случае кон-тур радиуса r охватывает N проводников, токи в которых равны I и одинаково направлены. Поэтому по теореме о циркуляции

	∫ Hl dl = Hl =2πrH = NI.	(1.6.7)
L
Отсюда напряженность магнитного поля внутри тороида:
	NI		(1.6.8)
H =	2 πr = nI ,

где n – число витков тороида, приходящихся на единицу длины. Напряженность магнитного поля на осевой линии тороида равна:

Hср =	NI	.	(1.6.9)
	2πr
	ср

Используя формулу (1.1.1), находим индукцию магнитного поля внутри тороида:

B =μμ0	NI	= μμ0nI.	(1.6.10)
2πr

Индукция магнитного поля на осевой линии тороида равна:

B =μμ		NI	=μμ	nI.	(1.6.11)
0 2πr
cp
		cp