Дивергенция

Рассмотрим некоторую т. Р векторного поля и окружим ее замкнутой поверхностью σ, целиком содержащемся в поле.

Вычислим поток вектора через поверхность σ и возьмем отношение этого потока к объему V области V, ограниченной поверхностью σ:

При К>0 это отношение определяет среднюю объемную мощность источника, если поток изнутри поверхности σ меньше нуля, то говорят о мощности стока.

Найдем предел отношения при условии, что область V стягивается в т. Р, т.е.

Если этот предел положителен, то т. Р называется источником,

а если отрицателен, то стоком.

Сама величина предела характеризует мощность источника или стока. Предел этот называют дивергенцией или расходимостью векторного поля в

т. Р.

Определение. Дивергенцией, или расходимостью векторного поля в т. Р называется предел отношения потока вектора через поверхность, окружающую т. Р, к объему, ограниченному этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в т. Р.

Обозначают

Теорема. Дивергенция векторного поля

выражается формулой ,

где значения частных производных берутся в т. Р.

Доказательство. По формуле Остроградского

Тройной интеграл по теореме о среднем будет равен

,

где Р₁ – некоторая точка области V, V – объем этой области

Теорему Остроградского можно записать так:

Теорему можно сформулировать так:

Поток вектора изнутри замкнутой поверхности равен тройному интегралу по объему, ограниченному этой поверхностью от дивергенции поля.

Свойства дивергенции:

1) div ,

Где С₁, С₂ – Const

2) Пусть - векторное поле, u(P) – скалярное поле

div

Доказать самостоятельно.

Пример. Найти дивергенцию поля

в т. М(1, 2, 3)

div