Дивергенция. Теорема Остроградского-Гаусса

Рис. 3.1

3.1. Силовые линии и поток вектора.Желая исследовать какое-либо векторное поле, мы можем выделить определенный объем V и сосредоточить внимание на картине силовых линий в этом объеме. На рис. 3.1 изображено несколько характерных типов расположения силовых линий, которые, возможно, при этом встретятся (пунктиром изображена граница S области V). Как видно, в одном из случаев внутри объема находится «источник» силовых линий (рис. 3.1а) либо «cток» (рис. 3.16), т. е. линии выходят из V или, соответственно, входят в V через границу S. Но силовые линии могут также пронизывать V насквозь, не начинаясь и не кончаясь в этой области (рис. 3.1е). Наконец, замкнутые силовые линии могут совершенно не пересекать границу S (рис. 3.1г). Вообще, когда задана векторная функция и изучается соответствующее векторное поле, закономерен вопрос, является ли некоторая точка Р источником (стоком) или не является. На такой вопрос,как будет видно, легко ответить аналитически, не прибегая к помощи графики.

Начнем с понятия потока вектора.Потоком вектора F через границу (поверхность) S называется интеграл

, (3.1)

где векторный дифференциал поверхности понимается как произведение обычного дифференциала ds на единичный вектор нормали к поверхности, т.е. ; положительной считают внешнюю нормаль (что для замкнутой поверхности определяется однозначно). Процесс получения подынтегрального выражения при вычислении потока вектора поясняет рис. 3.2. Подынтегральное выражение, будучи скалярным произведением двух векторов, положительно, когда угол между ними острый, и отрицательно при тупом угле.

Рис 3 2

Поэтому поток вектора обязательно положителен, если все силовые линии выходятчерез рассматриваемую поверхность наружу (образуя острый угол с её внешней нормалью), как, например, на рис. 3.1а, и отрицателен, когда они входятвнутрь (рис. 3.16). В случае замкнутой поверхности S обычно пишут:

(3.1а)

Покажем, что поток вектора через поверхность S можно измерять, числом пересекающих её силовых линий при условии, что их густота характеризует интенсивность поля. Рассмотрим сначала векторный элемент поверхности (элемент площади Δs на рис. 3.2 заштрихован). Элементарный поток ΔФ, проходящий через Δs, равен

, (3.2)

где - проекция векторного элемента на направление вектора Как видно из рис. 3.2, представляет собой площадку, через которую под прямым углом проходят все силовые линии вектора , пересекающие элемент Δs; число их обозначим ΔN. Густота силовых линий характеризуется отношением ΔN/ , а по условию последнее должно быть пропорционально абсолютному значению F вектора , т. е.

, (3.3)

(k - коэффициент пропорциональности). Таким образом, согласно (3.2) и (3.3)

, (3.4)

т. е. элементарный поток измеряется числом силовых линий, проходящих через соответствующий элемент поверхности. Складывая потоки элементарных площадок, на которые разбита поверхность S, находим:

. (3.5)

Следовательно, полный поток Ф вектора через поверхность S измеряется числом N силовых линий, её пересекающих, что и требовалось показать. При этом число выходящих силовых линий считается положительным, а число входящих - отрицательным. Наконец, необходимо ещё одно замечание. Соотношение (3.5) мы будем рассматривать как точное, хотя практически точность выражения потока числом силовых линий зависит от степени грубости построенной картины. В сущности, формула (3.5) может рассматриваться как точная, если число силовых линий, отнесенных к единице площади, условно считается непрерывной функцией, приращения заменяются дифференциалами, а суммирование потока по элементам - интегрированием.

3.2. Дивергенция. По определению, дивергенция вектора , обозначаемая символом div , выражается следующим предельным соотношением:

(3.6)

где под S понимается замкнутая поверхность, ограничивающая ΔV.

Для иллюстрации введенного понятия обратимся к рис. 3.3.

Положим, что поток вектора через S для рассматриваемого случая равен Ф, Ф > 0. Одновременно он измеряется числом выходящих через S силовых линий. Поэтому, если предельный переход в (3.6) производить, стягивая S вокруг точки Р (рис. 3.3а), из которой силовые линии выходят, то как бы ни уменьшался объем, поток через его границу останется равным Ф. В пределе при ΔV → 0 получим

в точке Р.

Если же, стягивая S, мы обойдем точку Р (рис. 3.36), то, начиная с этого момента, число силовых линий, входящих в ΔV, окажется равным числу линий выходящих. Следовательно, понимая предельный переход в (3.6) как стягивание S к любой из точек, не совпадающих с Р, будем иметь:

вне точки Р.

Рис. 3.3

Очевидно, если бы вместо поля с точечным источником мы рассмотрели поле с подобным же стоком (см. рис. 3.1б), то расхождение везде было бы равно нулю, кроме одной точки, в которой оно имело бы отрицательное значение. В полях же без источников и стоков (рис. 3.1, в, г), расхождение равно нулю во всех точках. Поля с нулевым расхождением называются соленоидальными; их силовые линии нигде не начинаются и не кончаются: они или замкнуты, или уходят в бесконечность (они могут также оканчиваться на границе области, в которой задано векторное поле).

Из определения оператора дивергенции следует его физический смысл: это растекание физической величины, её расхождение.

3.3. Дивергенция в декартовых координатах.От общего определения дивергенции (3.6) можно перейти к её дифференциальному выражению в декартовой системе координат. Для нахождения в некоторой точке М(х, у, z)проведём через неё координатные линии и построим, как это показано на рис. 3.5, элементарный параллелепипед. Теперь надо вычислить поток вектора через поверхность этого параллелепипеда. Очевидно, полный поток Ф можно разбить на три части (Ф = Ф₁ + Ф₂ + Ф₃), каждая из которых соответствует двум противоположным граням. Так, Ф₁- это поток через грань 1 и противоположную ей грань 1' (невидимую на рис.). Чем меньше грань, тем с большим основанием при вычислении потока можно заменять интеграл (3.1) приближенным выражением

Рис. 3.5

(ΔS-площадь грани, - поток через неё). Поступая так, учтём, что на гранях 1 и 1' -единичный вектор внешней нормали равен соответственно, а ΔS = ΔyΔz. Таким образом,

.

Заменив через

найдем:

,

и точно также:

Согласно (3.6) в точке М(х, у, z)

(в пределе приближённые выражения становятся точными), т. е.

(3.7)

Рис. 3.6

3.4. Теорема Остроградского-Гаусса. В заключение получим важное соотношение, которое составляет содержание теоремы Остроградского-Гаусса. Рассматривая объем V с граничной поверхностью S (рис. 3.6), разобьём его на элементы ΔV_i .Каждый из этих элементарных объёмов может быть настолько мал, что ошибка определения дивергенции вектора внутри ΔV_i по приближенной формуле

( есть в ΔV_i) вместо (3.6) будет меньше некоторой наперёд заданной величины. Поэтому справедливо:

где ε -как угодно малая положительная величина, соответственно которой выбран размер ΔV_i.

Полагая, что неравенство (с данным ε) выполнено дли каждого элемента, произведём суммирование по i, которое даст:

Дело в том, что поверхностные интегралы по всем внутренним границам, разделяющим смежные элементы ΔV_i, взаимно уничтожаются: на каждой общей границе (см. рис. 3.6) нормали для двух соседних элементов противоположны. Поэтому остаются лишь поверхностные интегралы по тем частям поверхностей элементов, которые составляют внешнюю границу S.

Переходя в пределе при N→∞ (бесконечное «измельчение» элементов ΔV_i) от суммы к интегралу и учитывая произвольную малость ε, получаем соотношение:

(3.8)

Это и есть формулировка теоремы Остроградского-Гаусса, согласно которой объёмный интеграл от дивергенции вектора равен потоку этого вектора через замкнутую граничную поверхность.

Ротор. Теорема Стокса

4.1. Ротор. В 1.2 было показано, что для полей потенциальных циркуляция при однозначности потенциала равна нулю (п. 4). Однако в общем случае циркуляция вектора по некоторому контуру L не должна обязательно быть равной нулю. Подобно потоку вектора, циркуляция также может быть использована для локальной характеристики поля. При этом возникает понятие ротора вектора , обозначаемого символом rot . По определению, rot есть вектор, проекция которого на произвольное направление выражается следующим образом:

(4.1)

где ΔS - площадка, выбранная так, что есть нормаль к ней, a L - контур этой площадки, направление обхода которого при интегрировании составляет с нормалью правовинтовую систему (если смотреть вдоль нормали, то обход производится по часовой стрелке).

4.2. Ротор в декартовых координатах. Как и дивергенцию, ротор вектора нетрудно представить в виде дифференциального выражения в декартовой системе координат. Обратимся к рис. 4.1, на котором через произвольную точку М(х, у, z)проведены три координатные линии и построены элементарные площадки, лежащие в координатных плоскостях. Желая сначала найти проекцию вектора на ось х, мы должны вычислить циркуляцию вектора F по контуру первой площадки и перейти к пределу согласно (4.1). Действия при этом похожи на производившиеся в преыдущем разделе. Итак, на основании (4.1)

Таким образом,

(4.2a)

Совершенно аналогично получаем:

, (4.2б)

и

. (4.2в)

Эти три равенства удобно объединяются в форме определителя:

(4.3)

Нетрудно показать, что потенциальные поля являются обязательно «безвихревыми», т. е. для всякого вектора будет . Чтобы проверить тождество

, (4.4)

достаточно рассмотреть какую-либо одну его проекцию. Так, составляя по формулам (4.2а)и (2.4а)проекцию этого вектора на ось х, имеем:

.

Другой важный факт заключается в том, что дивергенция вихревого поля тождественно равна нулю, т. е. такое векторное поле соленоидально (3.2):

. (4.5)

Действительно,

Из определения ротора, его можно трактовать в физическом смысле как вихрь.

4.3. Теорема Стокса. Перейдем, наконец, к теореме Стокса, содержание которой выражается равенством:

, (4.6)

где S - некоторая поверхность, a L - её контур, направление обхода которого при интегрировании согласовано с направлением положительной нормали к S, как и ранее. Согласно теореме Стокса, поток ротора некоторого вектора F через поверхность S равен циркуляции самого вектора по соответствующему контуру L.

Чтобы убедиться в справедливости теоремы Стокса, разобьем произвольную поверхность S на достаточно малые элементарные площадки Δs_i (рис. 4.3) и для определения ротора внутри Δs_i воспользуемся приближённым соотношением

есть внутри Δs_i) вместо (4.1). Поскольку точность этого равенства может быть как угодно велика (достаточно лишь взять соответственно малые размеры элемента Δs_i), то

где ε – наперёд заданная сколь угодно малая положительная величина.

Рис. 4.3

Выбрав все элементы достаточно малыми, произведём суммирование по i и получим:

где фигурирует циркуляция по граничному контуру L всей поверхности S, поскольку при суммировании части циркуляции по общим границам смежных элементов взаимно уничтожались; действительно, как видно из рис. 4.3, направления обходов общих участков границ смежных элементов противоположны.

Неограниченно измельчая все элементы и переходя соответственно этому от суммы к интегралу (N→∞), а также учитывая произвольную малость ε, приходим от предыдущего равенства к формулировке теоремы Стокса (4.6).