Теорема Гаусса для вектора . Поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность равен минус избыточному связанному заряду диэлектрика внутри этой поверхности

. (82)

Доказательство. Пусть замкнутая поверхность S охватывает часть диэлектрика (заштрихован на рис.25, слева). При включении поля вследствие поляризации заряд проходит через элемент dS этой поверхности (на рис.26 справа – увеличенный фрагмент). Пусть смещение положительного заряда характеризуется вектором , а отрицательного – вектором . Через dS наружу выйдет положительный заряд из внутренней (пунктирной) части косого цилиндра, а внутрь войдет отрицательный заряд из внешней части цилиндра, что эквивалентно переносу положительного заряда в обратном направлении. Значит, суммарный связанный заряд, выходящий наружу через dS, равен

= ,

где - расстояние, на которое сместились друг относительно друга центры масс положительных и отрицательных зарядов при поляризации. Согласно (80) , Þ = . Проинтегрировав это выражение, найдем весь заряд, который вышел из объема внутри замкнутой поверхности S при поляризации. Внутри останется избыточный заряд - противоположного знака, Þ получим выражение (82): , что и требовалось доказать.

Теорема Гаусса для поля вектора . Поскольку источниками электрического поля являются любые заряды, а именно: связанные и сторонние (т.е. не входящие в состав молекул диэлектрика, мы их обозначали просто q), то теорему Гаусса для вектора можно переписать так . Подставим из (74): , Þ . Учитывая, что оба интеграла берутся по одной поверхности S, перенесем второй интеграл влево и запишем под одним знаком: , Þ . Вспомогательный вектор во внутренних круглых скобках обозначают

. (83)

и называют электрическим смещением. Тогда для него можно компактно сформулировать теорему Гаусса:

. (84)

Поток вектора сквозь любую замкнутую поверхность равен суммарному стороннему заряду внутри этой поверхности.

Связь между векторами и . Подставив выражение (81), верное только для изотропных диэлектриков: =æε_о ® (83), получим =ε_о(1+æ) , или

, (85)

где диэлектрическая проницаемость ε=æ+1. Для всех веществ , а для вакуума . Из (85) следует, что векторы и направлены одинаково. Поскольку источниками вектора являются только сторонние заряды, линии вектора проходят области с диэлектриком, не прерываясь. Это позволяет выбрать правильную тактику при решении задач: сначала найти вектор , а затем, используя (85), вычислить вектор (ибо расположение сторонних зарядов обычно известно, а распределение связанного заряда представляет весьма сложную задачу).

Условия для векторов и на границе раздела диэлектриков. Пусть два однородных изотропных диэлектрика имеют общую границу (рис.27), и напряженность электрического поля в диэлектрике 1 равно , а в диэлектрике 2 - . Возьмем вдоль границы прямоугольный контур столь малой длины l, чтобы вдоль него напряженность в каждом диэлектрике пренебрежимо мало изменялась. Устремим высоту контура к нулю, тогда циркуляция вдоль этого контура сведется к сумме вдоль сторон l и по теореме о циркуляции должна быть равна нулю:

, Þ . Это значит: тангенциальная составляющая вектора одинакова по обе стороны от границы.

Теперь возьмем цилиндр малого сечения S на границе раздела (рис.28). Тогда по теореме Гаусса для вектора (при стремлении высоты цилиндра к нулю и одновременно к границе): , где s - поверхностная плотность стороннего заряда на границе раздела. Отсюда . Если сторонних зарядов на границе раздела нет, то , т.е. нормальная составляющая вектора одинакова по обе стороны от границы.

Величины и меняются при переходе границы. Запишем (85) в проекциях: , Þ , , и так как , Þ , Þ . Это значит, нормальная составляющая вектора терпит скачок при переходе границы, а сами линии вектора преломляются. Запишем (85) в проекции на тангенциальное направление: , Þ , , и так как , Þ . Это значит, тангенциальная составляющая вектора терпит скачок при переходе границы, а сами линии вектора преломляются. Сопоставление выражений в рамках показывает, что если , то при переходе из среды 1 в среду 2 нормальная компонента вектора уменьшается, а тангенциальная компонента вектора увеличивается.

Энергия электрического поля. Рассмотрим процесс зарядки конденсатора (рис.29). Пусть верхняя пластина заряжена зарядом +q до потенциала φ₁, а нижняя – зарядом -q до потенциала φ₂. Работа против сил поля при переносе очередной порции заряда +dq>0 с нижней пластины на верхнюю идет на увеличение энергии взаимодействия зарядов: = = . Выразим напряжение через емкость конденсатора ( ): , Þ . Далее интегрируем: . Емкость плоского конденсатора , где S – площадь каждой из пластин, d – расстояние между ними, Þ . Умножим числитель и знаменатель на S и учтем, что и (объем пространства между пластинами), Þ . Теперь умножим числитель и знаменатель на и учтем, что , Þ энергия заряженного конденсатора

. (86)

Отношение является энергией единицы объема и называется плотностью энергии электрического поля

. (87)

Учтем, что = , Þ . Умножим это равенство скалярно на вектор , Þ ® (87), Þ

. (88)

Полученное выражение представляет собой сумму плотности электрической энергии в вакууме и плотности энергии поляризации диэлектрика. Следовательно, электрическая энергия локализована в самом поле: как там, где есть вещество, так и там, где его нет. Однако стационарное поле может существовать только в присутствие порождающих его зарядов, а вот переменные поля могут существовать и самостоятельно.