Правило 2. Положительность коэффициентов

В большинстве из интересующих нас задач влияние значений зависимой переменной в точках, соседних с некоторой узловой, на значение в этой узловой точке обусловлено процессами конвекции и диффузии. Следовательно, увеличение значения в одной узловой точке должно, при прочих равных условиях, привести к увеличению (а не уменьшению) значения в соседней узловой точке. Тогда, как видно из уравнения (5.1), из увеличения Т_Р при увеличении Т_Е следует, что коэффициенты а_Е и а_Р должны иметь одинаковый знак.

, (5.3)

где индекс nb (nearby - близлежащий, соседний)обозначает соседние точки.

Другими словами, в общем случае, описываемом уравнением (5.3), знаки коэффициентов перед значениями зависимой переменной в соседних точках и коэффициента перед ее значением в центральной точке а_Р должны быть одинаковыми. Можно, конечно, выбрать их так, чтобы они все были положительными или отрицательными. Принято решение записывать разностный аналог с положительными коэффициентами. Тогда правило 2 можно сформулировать следующим образом: все коэффициенты (а_Р и ) всегда должны быть положительными.

Однако, как будет показано позднее, имеются многочисленные аппроксимации, в которых данное правило часто нарушается. Обычно следствием этого является физически неправдоподобное решение. Наличие отрицательного «соседнего» коэффициента может привести к ситуации, в которой увеличение температуры на границе вызывает уменьшение температуры в ближайшей узловой точке. Нас будут устраивать только те аппроксимации, которые при всех обстоятельствах гарантируют положительность коэффициентов.