Операторный метод анализа переходных колебаний в ЭЦ

Таблица П2.1

Таблица соответствия функций времени (оригиналов) f(t)
и их изображений F(p)

f(t)	F(p)
Ad(t)	A
A1(t)
Ae–at
Acos wt
Asin wt
где
где
где

Операторные схемы замещения реактивных элементов
для ненулевых начальных условий

Рис. П2.1

Пример П2.1

В цепи, схема которой приведена на рис. П2.2, в момент времени t = 0 замыкается ключ. Найдите закон изменения тока в индуктивности после коммутации, если U₀ = 10 В, L = 1 Гн, R = 10 Ом. Решите задачу операторным методом.

Решение

По закону коммутации i_L(0_–) = i_L(0₊) = U₀/R = 1 А. Нарисуем операторную схему замещения цепи для t > 0 (ключ замкнут) с учетом начального запаса энергии в индуктивности (рис. П2.3).

Изображение тока в этой цепи определяется по закону Ома

.

Для нахождения оригинала воспользуемся теоремой разложения:

.

Тогда

.

Этому изображению соответствует оригинал

i_L(t) = 2 – e^–5t, А.

Проверка

i_L(0) = 2 – 1 = 1 А; i_L(¥) = 2 А.

Рис. П2.4

Первое значение соответствует начальным условиям задачи, второе равно установившемуся значению постоянного тока в цепи с замкнутым ключом. На рис. П2.4 показан примерный график тока в индуктивности.

Пример П2.2

Рис. П2.5

В цепи, схема которой приведена на рис. П2.5, в момент времени t = 0 размыкается ключ. Найдите закон изменения тока i_C(t) и напряжения u_C(t) после коммутации. Задачу решите операторным методом.

Решение

По закону коммутации u_C(0_–) = u_C(0₊) = I₀R/2. Для упрощения расчетов преобразуем схему цепи после коммутации (t > 0, ключ разомкнут), как показано на рис. П2.6, и нарисуем ее операторную схему замещения с дополнительным источником u_C(0)/p, который учитывает наличие заряда на емкости к моменту коммутации (рис. П2.7).

Составим II закон Кирхгофа для операторной схемы замещения цепи (рис. П2.7) и получим выражение для изображения тока I_C(p):

,

.

Получим выражение для изображения напряжения заряженной емкости

.

Для нахождения оригинала i_C(t) воспользуемся таблицей соответствия П2.1:

.

Для нахождения оригинала u_C(t) разложим U_C(p) на сумму простых дробей

.

Найдем коэффициенты A₁ и A₂, приравнивая выражения

,

где , откуда A₁ = 4;

A₁ + A₂ = 1, откуда A₂ = –3.

Тогда

.

По табл. П2.1

.

Проверка

, u_C(¥) = 2I₀R;

, i_C(¥) = 0.

Первое значение соответствует начальным условиям задачи, второе равно установившемуся значению постоянного напряжения на емкости в цепи с разомкнутым ключом.

Рис. П2.8

На рис. П2.8 показаны примерные графики зависимостей напряжения на емкости и тока через емкость во времени.

Приложение 3

Операторные передаточные функции и временные характеристики ЭЦ

Операторная передаточная функция пассивной цепи 1-го порядка

Пример П3.1

Найдите операторную передаточную функцию цепи, схема которой представлена на рис. П3.1, и соответствующие переходную h(t) и импульсную g(t) характеристики.

Рис. П3.1	Рис. П3.2

Решение

Нарисуем операторную схему замещения (рис. П3.2); начальные условия нулевые, поэтому операторная схема замещения цепи не имеет дополнительного источника.

Выразим I₂(p) и U₁(p) через I₁(p):

.

Переходная характеристика цепи связана с ее передаточной функ­цией соотношением

h(t) £ .

В нашем случае

.

Импульсная характеристика цепи связана с ее передаточной функцией соотношением

g(t) £ H(p).

В нашем случае

.

Найдем коэффициенты A₀ и А₁, приравнивая выражения

,

где A₀ = 1; , откуда .

Тогда

;

.

Примерный график переходной характеристики h(t) для t > 0 приведен на рис. П3.3.

Рис. П3.3

Операторная передаточная функция активной цепи 2-го порядка

Пример П3.2

Найдите операторную передаточную функцию цепи, схема которой представлена на рис. П3.4, и соответствующую ей переходную h(t) характеристику, если R = 100 кОм, С = 1 нФ, K = 3.

Найдите комплексную передаточную функцию H(jw) и соответствующие ей АЧХ и ФЧХ цепи. Постройте графики h(t) и АЧХ цепи и оцените связь между ними.

Убедитесь в устойчивости ARC-цепи по критерию Найквиста.

Решение

Нарисуем операторную схему замещения (рис. П3.5), заменив условное изображение усилителя с конечным усилением его схемой замещения из табл. 3.2.

Составим систему узловых уравнений для L-изображений колебаний:

где G = .

Выразим U₃(p) и U₄(p) через U₂(p):

и подставим в первое уравнение

.

После преобразования получаем

.

После подстановки заданных значений параметров

.

Найдем переходную характеристику цепи h(t):

h(t) £ ,

.

Рассчитаем значения p₁ и p₂:

p² + 33,3×10³p + 3,33×10⁷ = 0,

,

p_1,2 = –1,67×10³ ± j 5,53×10³.

Для комплексно-сопряженных корней p₁ и p₂ коэффициенты и тоже будут комплексно-сопряженными , т. е. достаточно рассчитать коэффициент :

,

.

Тогда переходная характеристика цепи

,

Рис. П3.6

График h(t) рассчитан и построен с использованием программы MathCad (рис. П3.6).

Найдем граничные значения переходной характеристики цепи (рис. П3.6):

t = 0 h(0) = 1,046cos16,8 = 1,046×0,0997 = 1;

t = ¥ h(¥) = 0.

Получим комплексную передаточную функцию H(jw) и соответствующие ей амплитудно-частотную |H(jw)| и фазочастотную Q(w) характеристики:

.

.

Особенности частотных характеристик ARC-цепи 2-го порядка определяются частотой w_п и добротностью Q_п полюса передачи цепи:

, которые являются аналогами резонансной частоты w₀ и добротности Q колебательных контуров, но следует помнить, что понятие резонанса для ARC-цепей неприменимо.

Для нашего примера

.

Комплексная передаточная функция и соответствующие ей АЧХ и ФЧХ имеют вид:

.

Графики АЧХ (рис. П3.7) и ФЧХ (рис. П3.8) цепи рассчитаны и построенына ПК при помощи программы MathCad.

Найдем граничные значения амплитудно-частотной характеристики |H(jw)| цепи:

w = 0 H(0) = 0; w = ¥ H(¥) = 1.

Рис. П3.7

Рис. П3.8

Очевидно, что связь между временными и частотными характеристиками ARС-цепи выполняется, так как равны соотношения для их граничных значений:

,

.

Рассчитаем значения |H(jw)| на частоте полюса w_п = 5,77×10³ с^–1:

Анализ рассчитанных значений и графиков частотных характеристик показывает, что ARС-цепь 2-го порядка является электронным аналогом колебательного RLC-контура.

Для проверки ARС-цепи на устойчивость по критерию Найквиста нужно нарисовать схему цепи при закороченных входных зажимах (U₁ = 0) и разрыве цепи на входе ОУ (рис. П3.9).

Рис. П3.9	Рис. П3.10

Нарисуем операторную схему замещения полученной цепи (рис. П 3.10) и найдем операторную передаточную функцию B(p) цепи с разомкнутой петлей ОС (петлевое усиление).

Составим систему узловых уравнений для L-изображений колебаний:

Используя метод подстановки, получим функцию

.

Комплексная функция петлевого усиления

.

Найдем частоту w₀, на которой Jm B(jw₀) = 0 – , тогда величина Re B(jw₀) = , значит, годограф B(jw) не охватывает точку (1, j0) на комплексной плоскости, и по критерию Найквиста данная цепь устойчива.

Годограф B(jw) петлевого усиления рассчитан и построен на ПК с использованием программы MathCad (рис. П3.11).

, w = 0,10 – 10⁶.

Рис. П3.11

Если K = 4, то цепь будет находиться строго на границе устойчивости, при этом частота собственных незатухающих колебаний w₀ =5,77×10³ с^–1.

Приложение 4