Операторный метод анализа переходных процессов

ЗАДАНИЯ

1.1. Провести анализ переходного процесса в цепи с одним энергоемким элементом операторным методом. Варианты схем и величины параметров элементов цепей приведены в табл. 1.

1.1.1. Определить заданный ток и напряжения на элементах цепи операторным методом.

1.1.2. Провести анализ полученных результатов, сравнить их с результатами расчета переходного процесса классическим методом.

1.2. Операторным методом провести анализ переходного процесса в цепи с двумя энергоемкими элементами, схема и величины параметров которой заданы в табл. 2.

1.2.1. Операторным методом рассчитать заданный ток в цепи с двумя энергоемкими элементами.

1.2.2. Провести анализ переходного процесса в цепи с двумя энергоемкими элементами и сравнить полученные результаты с результатами анализа классическим методом.

2.1.1. Определим заданный ток и напряжения на элементах в переходном режиме при замыкании ключа S в цепи с одним энергоемким элементом (рис. 1).

Анализируя процессы в цепи до коммутации, определяем начальное значение тока индуктивности:

Независимое начальное значение тока индуктивности на основании первого закона коммутации также равно нулю: .

Составим операторную схему замещения цепи после коммутации (рис. 5).

Рис. 5

Для этого заменим идеализированные пассивные элементы их операторными схемами замещения, ЭДС идеализированного источника напряжения E – операторной ЭДС , мгновенные значения токов и напряжений ветвей – операторными токами и напряжениями соответственно.

Составим уравнения электрического равновесия цепи в операторной форме используя метод контурных токов:

Решение уравнений электрического равновесия цепи с помощью формул Крамера позволяет определить контурные токи:

Тогда операторные изображения токов ветвей цепи:

, ,

а искомый ток будет равен разности контурных токов:

Учитывая, что , находим выражения для искомых тока и напряжений на элементах электрической цепи после замыкания ключа S:

Рис. 6

2.1.2. Ток после замыкания ключа S изменяется скачком. С ростом тока индуктивности, ток начинает увеличиваться, поскольку к резистору параллельно подключается ветвь с резистором . Так как сопротивление резисторов и равны, то в установившемся режиме токи второй и третьей ветвей равны, при этом сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю.

Результаты полученные операторным методом полностью совпадают с результатами расчета цепи классическим методом.

2.2. Анализ переходного процесса в цепи с двумя энергоемкими элементами операторным методом

2.2.1. Операторным методом рассчитаем ток второй ветви цепи (рис. 4) при замыкании ключа S. Величины параметров элементов и искомая реакция цепи приведены в (табл. 2).

Проведем анализ цепи до коммутации и определим независимые начальные условия: ток индуктивности и напряжение на конденсаторе .

Изобразим операторную схему замещения цепи после коммутации (рис. 7), для этого заменим идеализированные пассивные элементы их операторными схемами замещения, ЭДС идеализированного источника напряжения - операторной ЭДС , мгновенные значения токов и напряжений ветвей их операторными изображениями и соответственно.

Рис. 7

Составим уравнение электрического равновесия цепи в операторной форме методом двух узлов:

Определим операторный ток первой ветви

(11)

Изображение тока первой ветви можно записать в виде отношения двух полиномов от , не имеющих общих корней

(12)

причем степень полинома выше, чем степень полинома , а уравнение не имеет кратных корней, то для перехода от изображения к оригиналу можно воспользоваться теоремой разложения:

, (13)

где - корни уравнения .

Поскольку знаменатель уравнения (11) имеет один корень равный нулю, т.е. , то для нахождения оригинала тока воспользуемся другой формулой теоремы разложения:

(14)

Подставим численные значения в уравнение (11).

Запишем

и значения функций и при

Найдем корни уравнения

.

Вычислим производную и ее значения при и

Определим при и :

Подставим полученные значения в формулу

Рис. 8

2.2.2. Анализ переходного процесса в разветвленной цепи с двумя энергоемкими элементами (рис. 4) операторным и классическим методами показал, что переходный процесс в ней носит колебательный характер. Полученные результаты не зависят от метода расчета, однако трудоемкость расчета различными методами не эквивалентна.

Поскольку коэффициент затухания , то колебания затухают достаточно быстро в цепи.