Вопрос 3. Классический метод анализа переходных процессов в ЭЦ.

Классический метод расчета переходных процессов основан на составлении и последующем решении (интегрировании) дифференциальных уравнений, составленных по законам Кирхгофа и связывающих искомые токи и напряжения послекоммутационной цепи и заданные воздействующие функции (источники электрической энергии).

Порядок ДУ определяется числом независимых начальных условий. Другой способ – по формуле: , где число реактивных элементов, число независимых емкостных контуров, число независимых индуктивных узлов.

Независимый емкостной контур – контур, образованный только ёмкостями или ёмкостями и независимыми источниками напряжения.

Независимый индуктивный узел – узел, к которому подключены только индуктивности или индуктивности и независимые источники тока.

При этом падение напряжений в активных сопротивлениях r и на реактивных элементах: конденсаторе C и катушке индуктивности L определяются соответственно:

Преобразуя систему уравнений, можно вывести итоговое дифференциальное уравнение относительно какой-либо одной переменной величины x(t): .

Здесь n – порядок дифференциального уравнения, он же – порядок цепи, коэффициенты a_k > 0 и определяются параметрами пассивных элементов R, L, C цепи, а правая часть является функцией задающих воздействий.

В соответствии с классической теорией ДУ полное решение НДУ находится в виде суммы частного решения НДУ и общего решения однородного дифференциального уравнения:

.

Частное решение полностью определяется видом правой части f(t) дифференциального уравнения. Зависит от воздействующих источников электрической энергии, поэтому вид обуславливается источниками электрической энергии и называется принужденной составляющей .

Общее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которые определяются коэффициентами дифференциального уравнения, и не зависит от правой части. не зависит от воздействующих источников и по этой причине называется свободной составляющей и полностью определяется параметрами пассивных элементов цепи, а физически процессом перераспределения запасов энергии электрического и магнитного полей в реактивных элементах цепи.

Таким образом, любая искомая величина в переходном режиме

.

Свободную составляющую переходного процесса ищут в виде

,

где n – порядок цепи, совпадающий с порядком дифференциального уравнения;

p_k – корни характеристического уравнения (собственные числа цепи);

A_k – постоянные интегрирования.

Следует заметить, что свободный процесс происходит в цепи, освобожденной от источников энергии. При отсутствии источников свободные токи и напряжения должны со временем затухать. Следовательно, вещественные корни характеристических уравнений или вещественные части комплексно-сопряженных корней должны быть отрицательными.

Вид свободной составляющей переходного процесса определяется числом и значениями корней характеристического уравнения:

= 0.

В случае, когда корни характеристического уравнения вещественные и различные, решение имеет вид:

,

где А_1, А₂, …, А_m – постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий задачи.

В случае, когда корни уравнения – вещественные и равные, т. е.
p₁ = p₂ = …p_m = p, свободная составляющая определяется уравнением:

.

Если корни комплексно-сопряженные , тогда решение имеет вид: , где А и – постоянные интегрирования, определяемые также из начальных условий задачи.

Если число корней характеристического уравнения больше одного, то необходимо иметь не только начальные условия искомой переменной, но и ее производных. При этом порядок производных, начальное значение которых необходимо знать, на единицу меньше числа корней характеристического уравнения. Для определения производных при уравнения Кирхгофа дифференцируют и решают совместно для .

Данный метод применяют для решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка. При более высоких порядках определение постоянных интегрирования и решение характеристического уравнения представляет собой сложный процесс.

Последовательность:

· Вычислить начальные независимые условия.

а) Постоянные источники:

б) Синусоидальные источники:

· Вычислить зависимые условия.

· Вычислить вынужденную составляющую.

а)

б)

· Составляется характеристическое уравнение и считаются его корни. Корни определяют вид свободной составляющей.

· Записываем ответ в виде:

, уже найдя все постоянные интегрирования.

Основные этапы решения классическим методом:

1. Определение начальных условий

2. Определение дифференциального уравнения

3. Определение характеристического уравнения

4. Определение свободной составляющей

5. Определение принуждённой составляющей

6. Определение неизвестных констант

7. Проверка полученного решения