Третья группа аксиом - аксиомы скалярного произведения

BIII₁. Для любых чисел l, mÎR, и любых векторов справедливо равенство .

BIII₂. Для любых векторов справедливо равенство .

BIII₃. Для любого ненулевого вектора имеет место .

Из аксиом ВIII₁ – ВIII₃ следует, что скалярное произведение представляет собой положительно определенную симметрическую билинейную форму на V₃. Будем также предполагать, что:

BIII₄. На пространстве V₃ задано множество положительно определенных симметрических билинейных форм, которое включает в себя скалярное произведение векторов, такое, что если , то , где l положительное действительной число.

Другими словами, на V₃ задано множество положительно определенных симметрических билинейных форм, пропорциональных скалярному произведению векторов с точностью до положительного числового сомножителя.