Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства

BIV1. (Аксиома откладывания вектора) Для любой точки AÎEv3 и любого вектора Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru существует единственная точка BÎ Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru такая, что Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru .

BIV2. (Аксиома треугольника) Для любых трех точек A, B, CÎ Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru справедливо равенство Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru .

Хотя приведенная аксиоматика по своей структуре достаточно проста, построение начал элементарной геометрии на ее основе менее наглядно. Поэтому попытки использования аксиоматики Вейля при построении школьного курса геометрии не получили широкого распространения. Проведем исследование аксиоматики Вейля, докажем ее непротиворечивость, независимость и полноту.

Докажем содержательную непротиворечивость аксиоматики Вейля трехмерного евклидова пространства. Для этого следует с помощью корректных средств построить модель этой системы аксиом. В качестве средств построения искомой модели мы будем использовать аппарат тории чисел.

Теорема 5.2.Аксиоматика Вейля трехмерного евклидова пространства непротиворечива, если непротиворечива арифметика.

Доказательство.Мы докажем содержательную непротиворечивость исследуемой аксиоматики, построив так называемую арифметическуюмодель аксиоматики Вейля. Как было показано в параграфе 2, отсюда следует ее непротиворечивость, при условии непротиворечивости арифметики.

Под вектором будем понимать строку из трех чисел Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru . Таким образом, множество векторов Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru представляет собой множество строк, состоящих из трех чисел: Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru , где Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru . Точкой также назовем строку из трех чисел Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru , множество точек Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru представляет собой множество строк, состоящих из трех чисел: Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru , где Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru . Операции сложения и умножения вектора на число определим как операции над числовыми строками. Если Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru и Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru , то:

Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru ,

Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru .

Под скалярным произведением векторов Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru и Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru будем понимать число:

Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru .

Пусть даны две точки Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru и Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru , тогда поставим им в соответствие вектор Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru , равный: Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru .

Легко показать, используя групповые свойства действительных чисел относительно операций сложения и умножения, что определенные таким образом точки и векторы, так же, как операции сложения векторов, умножения вектора на число, скалярного произведения и соответствия вектора упорядоченной паре точек, удовлетворяют условиям аксиом BI1 – BIV2 аксиоматики Вейля. Проверим выполнение лишь некоторых аксиом, проверку остальных предоставляем читателю.

Аксиома BI3. В качестве нулевого вектора возьмем строку: Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru . Если Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru - произвольный вектор, то Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru . Условие аксиомы BI3 выполнено.

Аксиома BIII2.Пусть даны число l и два вектора Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru и Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru . Вектор Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru равен: Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru . Поэтому

Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru .

Условие аксиомы BIII2 выполнено.

Аксиома BIV1.Пусть данаточка Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru и вектор Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru . Рассмотрим точку Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru , где Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru . В силу введенного правила соответствия упорядоченной пары точек и вектора:

Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru .

Пусть существует еще одна точка Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru , такая, что

Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru .

Но тогда, Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru . Точки В и В¢ совпадают. Условие аксиомы ВIV1 выполнено.

Аксиома BIV2.Рассмотрим три точки: Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru , Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru и Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru . Тогда

Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru Легко видеть, что Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru . Отсюда следует: Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru . Условие аксиомы ВIV2 выполнено. Теорема доказана.

Аксиоматика Вейля трехмерного евклидова пространства обладает свойством минимальности. Любое из утверждений аксиом BI1 – BIV2 не зависит от остальных аксиом.

Теорема 5.2.Аксиоматика Вейля трехмерного евклидова пространства является независимой.

Доказательство.Мы проверим независимость аксиом BIV1 и BIV2 от остальных аксиом исследуемой аксиоматики. Как было указано в параграфе 2, для этого нам следует доказать независимость каждой из этих аксиом от остальных, т.е. доказать непротиворечивость двух аксиоматик, состоящих из всех аксиом Вейля, в которых аксиома BIV1 или аксиома BIV2 заменена ее логическим отрицанием. Так как при этом мы будем использовать аппарат арифметики действительных чисел, то наши рассуждения будут истинными при условии непротиворечивости аксиоматики арифметики действительных чисел.

Прежде всего, рассмотрим аксиому BIV1. Логическое отрицание этой аксиомы имеет вид:

Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru . Существуют такие точка AÎ Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru и вектор Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru , что для них можно найти по крайней мере две различные точки В1 и B2, принадлежащие пространству Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru , для которых Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru .

Построим арифметическую модель системы аксиом B1 – BIII5, Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru , BIV2. Понятие вектора, операций сложения векторов, умножения вектора на число и скалярного произведения векторов введем так же, как и при доказательстве теоремы 5.1. Под точкой будем понимать строку из четырех чисел: Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru . Пусть даны две точки Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru и Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru , тогда поставим им в соответствие вектор Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru , равный: Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru .

Легко видеть, что в построенной модели выполняются все аксиомы BI1 – BIII5 и BIV2, проверьте их самостоятельно. Рассмотрим точку Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru и вектор Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru . Тогда для двух различных точек Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru и Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru , следуя введенному правилу, Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru . Условие аксиомы Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru для рассматриваемой модели выполнено, ее независимость доказана.

Сформулируем логическое отрицание аксиомы BIV2:

Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru . Существуют по крайней мере три точки A, B, CÎ Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru , для которых Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru .

Для построения арифметической модели системы аксиом B1 – BIII5, BIV1, Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru понятия вектора и точки, линейных операций над векторами, скалярного произведения и введем так же, как и при доказательстве теоремы 5.1. Упорядоченной же паре точек поставим в соответствие вектор по следующему правилу. Пусть даны две точки Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru и Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru , тогда Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru . Рассмотрим три точки Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru . Вектора Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru и Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru , следуя введенному правилу соответствия, равны: Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru . Поэтому Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru . Независимость аксиомы BIV2 от остальных аксиом Вейля доказана.

Мы показали, что аксиоматика Вейля трехмерного евклидова пространства обладает свойствами непротиворечивости и независимости. Покажем, что она также обладает свойством категоричности. Действительно, если мы имеем какую либо модель системы аксиом BI1 – BIV2, то, пользуясь теми же методами, которые использовались в курсах алгебры и аналитической геометрии, можно построить ортонормированный базис пространства Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru , состоящий из трех векторов, тем самым поставив в соответствие каждому вектору строку из трех чисел, а также систему координат пространства Четвертая группа аксиом - аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства - student2.ru , которая позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точкам и строками из трех чисел. При этом линейные операции над векторами, скалярное произведение векторов и соответствие упорядоченной пары точек и векторов в координатах имеют тот же вид, что и в построенной выше арифметической модели этой аксиоматики. Поэтому любая модель аксиоматики Вейля изоморфна ее арифметической модели. Отсюда следует, что любые две модели аксиоматики Вейля трехмерного евклидова пространства изоморфны, а сама аксиоматика категорична. Как отмечалось в параграфе 2, из категоричности аксиоматики следует ее полнота. Таким образом, система аксиом BI1 – BIV2 удовлетворяет условию полноты.

Наши рекомендации