Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

6.1.Линейное дифференциальное уравнение второго по- рядка с постоянными коэффициентами имеет вид

где

p1 и

у¢ + р1 × у¢ + р2 × у =

p2 - числа.

f (x) ,

6.2.Общее решение линейного однородного уравнения второго порядка имеет вид

уo.o = c1 × y1 + c2 × у2 ,

где

y1 и

y2 - линейно независимые решения.

6.3.Решения линейного однородного уравнения с посто-

янными коэффициентами ищем в виде После подстановки в уравнение

у = еkx ,

k = const .

решения

у = еkx

у¢ + р1 × у¢ + р2 × у = 0

получаем характеристическое уравнение

(6.3)

k 2 + p

относительно неизвестного k.

× k + p2 = 0

Вид общего решения уравнения (6.3) зависит от корней

характеристического уравнения следующим образом (табл. 1).

Таблица 1

Корни характеристиче- ского уравнения	Вид общего решения
Корни различные дейст- вительные k1 ¹ k2	у = с еk1x + c ek2 x о.о. 1 2
Корни действительные равные k1 = k2 = k	у = с еkx + c × x × ekx о.о. 1 2
Корни комплексные k1,2 = a ± ib	у = с еαx × cosβx + c × eαx × sin βx о.о. 1 2

6.4.Общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид

у = уо.о + уч.н ,

где уо.о - общее решение соответствующего однородного уравне-

ния, а

уч.н - частное решение данного неоднородного уравнения.

Для подбора частного решения по виду правой части уравнения f (x) и корней характеристического уравнения удоб- но пользоваться табл. 2:

Таблица 2

Правая часть диф- ференциального уравнения f (x)	Корни характеристи- ческого уравнения	Вид частного решения
f (x) = Pn (x)	1. Число 0 не явля- ется корнем ха- рактеристическо- го уравнения	уч.н = Qn (x)
2. Число 0 – корень характеристичес- кого уравнения кратности s	у = xs × Q (x) ч.н n
f ( x) = eαx × P (x) n	1.Число a не явля- ется корнем ха- рактеристическо- го уравнения	у = eαx × Q (x) ч.н n
	2. Число a – корень характеристиче- ского уравнения кратности s	у = xs × еax × Q (x) ч.н n

Окончание табл. 2

Правая часть дифференциаль- ного уравнения f (x)	Корни характеристи- ческого уравнения	Вид частного решения
f (x) = А cos βx + + В sin βx	1.Число ± bi не яв- ляется корнем ха- рактеристическо го уравнения	yч.н = ~ cos bx + А + ~ sin bx В
2.Число ± bi – ко- рень характерис- тического урав- нения	уч.н = = x ( ~ cos bx + А + ~ sin bx) В
f (x).= =ex(Acosbx+ + В sin βx )	1.Число a ± ib не является корнем характеристичес- кого уравнения	уч.н = = ex( ~ cos bx + А + ~ sin bx) В
2.Число a ± ib – корень характе- ристического уравнения	уч.н = = xeax( ~ cos bx + А + ~ sin bx] В