Дослідження екстремальних властивостей

Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru

Задача 5.5.1. У прямокутний трикутник Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru з гострим кутом Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru та прямим кутом Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru вписано правильний трикутник так, що його вершини лежать на різних сторонах даного трикутника. При якій умові сторона правильного трикутника буде найменшою?

Розв’язання. Нехай Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru – правильний трикутник, вписаний у даний трикутник Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru (рис. 26). Вважатимемо Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Тоді Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Точку Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru можна розглядати, як результат повороту точки Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru навколо точки Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru на кут Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru проти годинникової стрілки. Тоді точку Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru можна одержати внаслідок перетину відрізків Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru та Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , де Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru - це образ відрізка Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru при повороті на Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru проти годинникової стрілки навколо центра повороту Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Оскільки кут Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , то точка Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Очевидно, що Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru – правильний і Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Знайдемо висоту Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru у Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru : Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Із прямокутного трикутника Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru сторона вписаного трикутника дорівнює Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Розглянемо функцію Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Вона набуває свого найменшого значення при Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru = Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru .

Отже, якщо Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , тобто Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , то вписаний правильний трикутник буде шуканий.

Задача 5.5.2. Всередині трикутника Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru знайти точку Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , для якої сума квадратів відстаней від неї до сторін трикутника мінімальна.

Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru Розв’язання. Нехай відстані від точки Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru до сторін Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru будуть відповідно Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru (рис. 27). Тоді

Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru ,

де Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru - площа даного трикутника. Сума квадратів відстаней від точки Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru до сторін трикутника буде дорівнювати Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . В силу нерівності Коші - Буняковського виконується співвідношення

Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru ,

причому знак рівності виконується при умові Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Одержуємо, що

Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru .

Права частина є сталим числом. Тому ліва частина прийматиме найменше значення, коли виконується знак рівності, тобто при умові Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Із цих співвідношень та рівності Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru остаточно дістаємо

Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru .

Задача 5.5.3. Дано дві паралельні прямі та точка Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru між ними. Побудувати прямокутний трикутник Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru з вершиною прямого кута в точці Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru та вершинами на заданих паралельних прямих, площа якого мінімальна.

Розв’язання. Проведемо через точку Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru перпендикуляр до паралельних прямих (рис. 28). Нехай Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Трикутники Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru і Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru подібні. Тому Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru або Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , звідки Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Оскільки Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru і Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , то Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Отже, площа Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru буде найменшою, коли найменшою буде сума Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Добуток Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru є сталим числом Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , тому сума Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru буде найменшою при Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , тобто при Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Але якщо Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , то Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Тепер трикутник Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru легко будується.

Задача 5.5.4. Знайти найкоротший відрізок, який ділить рівносторонній трикутник із стороною Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru на дві рівновеликі фігури.

Розв’язання. Нехай трикутник Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru рівносторонній із стороною Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Позначимо шуканий відрізок Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Нехай Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru (рис. 29). Тоді площа Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Оскільки площа всього трикутника дорівнює Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , то з умови отримуємо, що Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru або Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . За теоремою косинусів Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru або Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Очевидно, що відрізок Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru буде найменшим, коли найменшим буде значення виразу Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Добуток обох доданків є сталим і Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , тому найменше значення суми буде при Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , тобто при Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . При цьому значенні Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru і Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru .

Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru

Застосування похідної

Задача 5.6.1. У правильну чотирикутну піраміду з ребром основи Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru і висотою Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru вписана правильна чотирикутна призма так, що її нижня основа лежить всередині основи піраміди, а вершини верхньої основи – на бічних ребрах піраміди. Знайдіть найбільшу площу бічної поверхні таких призм.

Розв’язання. Нехай правильна чотирикутна призма вписана в піраміду так, як показано на рисунку 30. Нехай сторона основи призми дорівнює Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , а її висота Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru .З подібності трикутників Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru та Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru отримуємо Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , а з подібності трикутників Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru та Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru випливає співвідношення Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . З пропорції Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru знаходимо Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Оскільки площа бічної поверхні призми дорівнює Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , то маємо Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru .

Одержаний квадратний відносно Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru тричлен з від’ємним старшим коефіцієнтом досягає свого найбільшого значення в точці Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . При цьому максимальна площа бічної поверхні буде Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru .

Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru Задача 5.6.2. Навколо правильної трикутної призми з об’ємом Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru описаний циліндр. Знайдіть найменшу площу повної поверхні таких циліндрів.

Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru Розв’язання. Нехай висота призми Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , сторона основи Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , радіус кола, описаного навколо основи Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru (рис. 31). Оскільки Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru радіус кола, описаного навколо правильного Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru трикутника, дорівнює Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , то, відповідно до умови, Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , звідки Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Тоді площа поверхні циліндра Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Розглянемо функцію Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Оскільки її похідна Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru перетворюється в 0 при Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru і у цій точці функціяприймає, як легко встановити, найменше значення, то Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru є найменшим значенням площі поверхні циліндра.

У деяких випадках для знаходження найбільшого і найменшого значення при розв’язанні геометричних задач не завжди зрозуміло, в яких межах змінюється значення величини, яка нас цікавить. Тоді зручно цю величину виразити через інші величини.

Задача 5.6.3. Плоска фігура складається з прямокутника і рівностороннього трикутника. Визначити її розміри так, щоб при даному периметрі площа була найбільшою (у величину периметра не враховується спільна сторона прямокутника і трикутника).

Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru Розв’язання.Нехай Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru – сторона трикутника, Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru – сторона прямокутника (рис. 32). Тоді периметр Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , звідки Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru .Очевидно, що Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru площа всієї фігури буде

Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru = Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru =

= Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru .

Значення Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , при якому площа Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru буде найбільшою, визначаємо за допомогою похідної у виді Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Тоді Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Це і є розміри фігури, при яких при заданому периметрі площа буде найбільшою.

Задача 5.6.4.Який із всіх рівнобедрених трикутників, вписаних у дане півколо так, щоб одна із рівних сторін лежала на діаметрі, а друга була б хордою, має найбільшу основу?

Розв’язання. Нехай шуканим є трикутник Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru і Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru (рис. 33), Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru - радіус заданого півкола з діаметром Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru .Проведемо Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Нехай Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Тоді Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru і Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Тепер знаходимо, що Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . З прямокутного трикутника Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru отримуємо Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , а із рівнобедреного трикутника Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru за теоремою косинусів маємо Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru .

Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru Розглянемо функцію Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru , визначену на інтервалі Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru . Оскільки її похідна Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru перетворюється в 0 при Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru і Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru у цій точці приймає найбільше значення, то знайдене значення Дослідження екстремальних властивостей - student2.ru є шуканим та вказує, як побудувати трикутник.

Наши рекомендации