Теорема о сумме вероятностей
Множества.
Множество – неупорядоченная именованная совокупность элементов.
1.Каждый его элемент уникален.
2.Можно установить принадлежит ли элемент множеству. аϵА
Множество не содержащее элементов-пустое множество =
Операции с множествами
1.Объединение
2.Пересечение
3.Разность A\B=B-A
4.Дополнение СА= B–подмножествоА
Свойства множеств
, если
, если
2.Вектор-направленный отрезок,для которого указано начало и конец.
-1ая буква начало,2ая конец
Суммойвекторов −a(a1;a2) и −b(b1;b2) −c a1+b1;a2+b2
Разность векторов a-b такой вектор, c+b=a
Произведением вектора на число
Скалярное произведение двух ненулевых векторов-произведение длин этих векторов на Cos угла между ними.
Линейная зависимость двух векторов 1.Система векторов называется линейной если если в ней хотя бы одно число отлично от нуля.
3.Матрицей – размером MxNназывают совокупность m-n числе, расположенных в виде прямоугольной таблицы, которая заключена в круглые скобки и в которой m строк, n столбцов.
Виды матриц:1.Матрица строка,2.Матрица столбец,3.Нулевая матрица(все элементы 0),4.Квадратная матрица,5.Треугольная матрица(все элементы ниже главной диагонали=0,6.Единичная матрица – главная диагональ все единицы(E).
Операции с матрицами:
1.Равенство матриц-AиB если одинаковое mxn, и aij = bij
2.Транспонирование- меняются номера у строк и столбцов местами. связь между ними записывается
3.Сложение матриц слагать можно только одинаковые матрицы. Переплюсовываем элементы.
4.Умножение матриц умножаем каждый элемент на число C=AB.
4.Определитель(detA, |A|,)– является многочленом от элементов квадратной матрицы.
Свойства определителя:1.Если в определителе есть нулевая строка ,то определитель равен нулю.2.Если в определителе есть две равных строчки, то он равен нулю.3.Если строчки определителя умножить на число то определитель умножается на число.4.А*n=detAn*a .5.Меняешь строчки меняется определитель.6.Если к одной строке прибавить другую то определитель не изменится.7.detA=A,detA=At.
Разложение определителя по строке- определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент.
5.Обратная матрица(A−1)-матрица при умножении на которую, исходная матрица дает в результате единичную матрицу. Нахождение обратной матрицы:1.Метод Гаусса-Жордана,
2.С помощью матрицы алгебраических дополнений .Находим матрицу миноров,матрицу алгебраический дополнений,дальше по формуле.
6.Ранг матрицы.r(A).- наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.Равен максимальному числу ее линейно независимых столбцов(строк). Элементарные преобразования:1.Перестановка любых строк(столбцов),2.Умножение строки(столбца) на число,3.Прибавление к одной строке(столбцу),другой строки умноженной на число.
Надо с помощью преобразований оставить одни нули и однёрки, количество однёрок и есть ранг матрицы.
7.Система линейных уравнений с n неизвестными – это система уравнений вида
Матричный способ записи
при методе гауса, при методе крамера
Методы решения линейных уравнений:
1. методом подстановки,2.методом почленного вычитания(сложения) уравнений системы,3.метод Крамера,4.С помощью обратной матрицы,5.Методом Гаусса.
8.Метод Крамера – способ решения квадратных систем линейных уравнений с ненулевым определителем основной матрицы,назван в честь Габриэля Крамера.
Как решать:Забиваем коофиценты в матрицу,находим ее определитель 1. 2. 3.
4. ,
9.Метод Гаусса – в отличие от метода Крамера,решает тогда когда система имеет.
Метод решения:1.Забиваем уравнение в расширенную матрицу системы.2.С помощью элементарных преобразований приводим к ступенчатому виду.3.Получаем эквивалентную исходной систему уравнений.4.Решаем систему с учетом известных переменных.
10.Элементарная функция-это функция, которую можно задать формулой,то есть набором конечного числа символов,соответствующих используемым операциям.Элементарные функции непрерывны на своей области определения.
Основные элементарные функции:1.Постоянная-вида y=b, функция постоянная если ее значение одно и то же при всех значениях аргумента. График-прямая,2.Степенная- , где а(показатель степени) некоторое число.График-парабола,гипербола,3.Показательная- а-основание степени,х-показатель степени,4.Логарифмическая функция-lnba,логарифмическая функция противоположна показательной.5.Тригонометрическая-синусоиды, косинусоиды,тангенсоиды,котангенсоиды.
11.Неопределенный интеграл для функции f(x)-это совокупность всех первообразных данной функции.Решить неопределённый интеграл,значит найти множество всех первообразных.
Свойства неопределенного интеграла.
12.Формула интегрирования по частям. (u,v-дифференцируемые функции)
13.Определенный интеграл-одно из основных понятий математического анализа,мощное средство исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах.Решить определенный интеграл это значит найти число.Формула Ньютона-Лейбница-если f непрерывна на отрезке [a, b] и F-ее любая первообразная на этом отрезке,то имеет место равенство. Свойства определенного интеграла:
1.x=a
2.
3.
4.
5.
6.Если функция интегрируема на определенном отрезке,она интегрируема на любом внутренем отрезке.
7. , если y=f(x) интегрируема на [a,b], и .
8.если y= f(x) интегрируема на отрезке [a; b]
14.Несобственный интеграл-интеграл от неограниченной функции или от функции по неограниченному множеству.Обобщение классического понятия интегралла на случай неограниченных функций ,в результате может получится число(сходится) или бесконечность(расходится)
15.Дифференциальные уравнения-это уравнения, в которое входит неизвестная функция под знаком производной или дифференциала.Содержит:независимую переменную x, зависимую переменную y,первую производную функции .Решить ДУ значит найти множество всех функций ,которая удовлетворяют данному уравнению.Задача Коши:одно из основных задач теории ДУ,состоит в отыскании интеграла ДУ,удовлетворяющих начальным условиям.
16.Уравнения с разделяющимися переменными–ДУ называется уравнением с разделяющимися переменными,если его правая часть представима в .
Линейные уравнения-ДУ может называться линейным, если может быть решена двумя методами.Однородные уравнения-называются однородными относительно x и yесли функция является однородной степени 0.
17.Числовой ряд-это сумма членов числовой последовательности вида В общем виде
Ряд сходится это значит,что бесконечная сумма равна бесконечности,ряд расходится значит бесконечная сумма равна конечному числу. Признак Даламбера: 1.При ряд сходится,2. ряд расходится, признак не дает ответа.
18.Степенные ряды –ряды членами которых являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом.
Радиус сходимости,это половина длинны интервала сходимости.
Область сходимости степенного ряда называется множество тех значений х при который степенной ряд сходится.
19.Ряд Тейлора-разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
20.Дискретное пространство элементарных событиймножество всех различных исходов случайного эксперимента.Дискретное если число его элементов конечно или счетно.Сумма( С = А В )Событие происходит только тогда, когда происходит либо A или B.Произведение
( С = А В ),когда происходит А и В.Разность( С = А – В )С происходит только когда А,без В.
Достоверное событие,событие которое обязательно должно произойти.Невозможное не может произойти.Противоположное промах и попадание.Несовместные события невозможно одновременное появление.
21.Вероятностьюсобытия А называется отношение числа исходов m благоприятствующих его наступлению к числу всех исходов n. Выборка часть объектов отобранных для изучения.Выборка с гомоморфными парами-зависимые.Взаимосвязь между выборками отсутствует-независимые.
Теорема о сумме вероятностей
Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий. Следствие 1:Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.
2:Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.
23.Условная вероятность.P(A|B)-это вероятность некоторого события А,при условии наступления некоторого события В.
Независимость событий если одно событие не изменяет вероятность наступление другого.Умножение вероятностей вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого,вычисленную при условии,что первое событие уже наступило.
24.Формула полной вероятности
Формула Байеса
25.Дискретная случайная величина-это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений,конечное(счетное) число возможных значений.Характеристики:1.Математическое ожидание,2.дисперсия,3.средне квадратичное отклонение.
26.Функция распределения случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их проявления.
F(x) определена на всей числовой прямой R.
F(x) не убывает
27.Математическое ожидание случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности. Свойства:1.Математическое ожидание постоянной С равно постоянной.2.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.3.Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин.4.Математическое ожидание произведений двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.
28.Дисперсия случайной величины-мера разброса данной случайной величины,то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначачается D[X]
Свойства дисперсии: 1.Дисперсия любой случайной величины неотрицательна.2.Если дисперсия конечна,то ее математ ожидание конечно.3.Если случайная величина рвна константе,то ее дисперсия равна нулю.4.Дисперсия суммы двух случайных величин равна их ковариации.5.D[aX]=a2D[X]. 6.D[-X]=D[X]
7.D[X+b]=D[X]
29.Испытания Бернулли-независимые испытания с двумя исходами каждое и такие,что вероятности исходов не изменяются от испытания к испытанию.
Биноминальное распределение в теории вероятностей-распределение количества «успехов»
30.Распределение Пуассона-вероятностное распределение дискретного типа моделирует случайную величину,представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время,при условии,что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.Это частный случай Биноминального распределения.
31.Функцией распределения вероятностей называют функцию F(x), определяющую вероятность того,что случайная величина X в результате испытания примет значение меньшее X.
Случайную величину называют непрерывной, если функция распределения вероятностей есть непрерывная, кусочно-дифф функция с непрерывной производной.
32.Равномерное распределение-распределение вероятностей возникающее при распространении идеи равновозможности исходов на непрерывный случай.Р.р на каком либо отрезке-это распределение вероятностей имеющее плотность
33.Нормально распределение-распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения.
34.Теоремы Муавра-Лапласа.Применяются в случае когда p и q.Локальная теорема если в схеме бернулли n стремится к бесконечности p (0 < p < 1) постоянно, величина ограничена равномерно по m и n .Интегральная теорема вероятность того, что во всех испытаниях событие а появится не менее k1 и не более k2 раз,приближенно вычисляется по формуле
35. Совместной функцией распределения случайных величин , назовем функцию , зависящую от вещественных переменных, такую, что
36.Ковариация случайных величин-мера линейной зависимости случайных величин.Числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин,равная математическому ожданию произведения отклонений случайных величин от их мат.ожидания.Обозначается как cov(x,y)=E(X-EX)(Y-EY)