Свойства функции распределения

Функция распределения Свойства функции распределения - student2.ru является исчерпывающей вероятностной характеристикой случайной величины, поскольку позволяет определять вероятности любых событий с ней связанных. Это вытекает из следующих ее свойств функции распределения.

F0). Свойства функции распределения - student2.ru для любого Свойства функции распределения - student2.ru .

(свойство следует из определения, так как Свойства функции распределения - student2.ru - вероятность).

F1). Функция распределения Свойства функции распределения - student2.ru является функцией неубывающей: Свойства функции распределения - student2.ru .

Свойства функции распределения - student2.ru . Поэтому в силу свойства 3 вероятности Свойства функции распределения - student2.ru ■.

F2). Свойства функции распределения - student2.ru .

▲ Нестрогое доказательство данного свойства и его смысл состоят в следующем:

Свойства функции распределения - student2.ru в силу свойства 2 вероятности;

Свойства функции распределения - student2.ru в силу аксиомы нормированности Р2).

Строгое доказательство свойства F2) основано на использовании аксиомы непрерывности Р4).

Рассмотрим события Свойства функции распределения - student2.ru , Свойства функции распределения - student2.ru . Нетрудно заметить, что последовательность событий Свойства функции распределения - student2.ru удовлетворяет свойствам: 1) Свойства функции распределения - student2.ru ;
2) Свойства функции распределения - student2.ru . Поэтому в силу аксиомы непрерывности

Свойства функции распределения - student2.ru .

Свойствам аксиомы непрерывности удовлетворяют также события Свойства функции распределения - student2.ru , Свойства функции распределения - student2.ru и поэтому Свойства функции распределения - student2.ru . Поскольку Свойства функции распределения - student2.ru , то Свойства функции распределения - student2.ru ■.

F3). Функция распределения Свойства функции распределения - student2.ru является функцией непрерывной слева, то есть для любого Свойства функции распределения - student2.ru

Свойства функции распределения - student2.ru ,

где Свойства функции распределения - student2.ru - предел слева функции распределения в точке х.

▲ Рассмотрим события Свойства функции распределения - student2.ru , Свойства функции распределения - student2.ru . В силу аксиомы непрерывности Свойства функции распределения - student2.ru . Поскольку

Свойства функции распределения - student2.ru ,

то Свойства функции распределения - student2.ru ■.

Замечание. Отметим, что если функцию распределения определить как Свойства функции распределения - student2.ru , то она будет функцией непрерывной справа.

Замечание. Свойства F1), F2) и F3) полностью описывают класс функций распределения в смысле следующего утверждения (без доказательства).

Если функция Свойства функции распределения - student2.ru удовлетворяет свойствам F1), F2) и F3), то Свойства функции распределения - student2.ru есть функция распределения некоторой случайной величины Свойства функции распределения - student2.ru , то есть найдется вероятностное пространство Свойства функции распределения - student2.ru и такая случайная величина на этом пространстве, что Свойства функции распределения - student2.ru .

F4). Для любого Свойства функции распределения - student2.ru

Свойства функции распределения - student2.ru ,

где Свойства функции распределения - student2.ru - предел справа функции распределения в точке х, Свойства функции распределения - student2.ru - величина скачка функции распределения в точке Свойства функции распределения - student2.ru .

Следствие. Если функция распределения непрерывна в точке Свойства функции распределения - student2.ru , то Свойства функции распределения - student2.ru . Если функция распределения непрерывна для любого Свойства функции распределения - student2.ru , то Свойства функции распределения - student2.ru для любого Свойства функции распределения - student2.ru .

▲ Поскольку справедливо представление

Свойства функции распределения - student2.ru

и события в сумме являются попарно несовместными, то в силу аддитивности вероятности

Свойства функции распределения - student2.ru .

Доказательство свойства следует из того, что последовательность событий Свойства функции распределения - student2.ru , Свойства функции распределения - student2.ru удовлетворяет аксиоме непрерывности и поэтому Свойства функции распределения - student2.ru ■.

F5). Для любого Свойства функции распределения - student2.ru

Свойства функции распределения - student2.ru .

▲ Действительно,

Свойства функции распределения - student2.ru ■.

Замечание. Геометрически свойства F3), F4) и F5) означают следующее. В точках Свойства функции распределения - student2.ru , где функция распределения имеет разрыв 1 рода, то есть когда Свойства функции распределения - student2.ru , за значение функции распределения принимается левое (нижнее, меньшее). При этом вероятность события Свойства функции распределения - student2.ru является ненулевой и ее значение равно величине скачка Свойства функции распределения - student2.ru . В точках непрерывности функции распределения свойства F3) F4) и F5) содержательными не являются.

Свойства функции распределения - student2.ru

F6). Вероятность попадания случайной величины Свойства функции распределения - student2.ru в интервал Свойства функции распределения - student2.ru определяется как приращение функции распределения на этом интервале:

для любых Свойства функции распределения - student2.ru

Свойства функции распределения - student2.ru .

▲ Поскольку Свойства функции распределения - student2.ru и события в сумме являются несовместными, то в силу аддитивности вероятности

Свойства функции распределения - student2.ru

или, что эквивалентно,

Свойства функции распределения - student2.ru ■.

F7). Свойства функции распределения - student2.ru .

F8). Свойства функции распределения - student2.ru .

F9). Свойства функции распределения - student2.ru .

(Доказать свойства F7), F8) и F9) самостоятельно).

В общем случае график функции распределения может иметь вид:

Свойства функции распределения - student2.ru

В приложениях, как правило, встречаются случайные величины, функции распределения которых являются либо везде кусочно-постоянными (дискретные случайные величины), либо везде непрерывными и даже гладкими (непрерывные случайные величины). В каждом из этих случаев существуют более удобные, чем функция распределения, вероятностные характеристики случайных величин.

2.2. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины.

Определение. Случайная величина Свойства функции распределения - student2.ru , заданная на вероятностном пространстве Свойства функции распределения - student2.ru , называется дискретной, если множество ее возможных значенийСвойства функции распределения - student2.ruконечно или счетно:

Свойства функции распределения - student2.ru или Свойства функции распределения - student2.ru .

Для полной вероятностной характеристики дискретной случайной величины Свойства функции распределения - student2.ru достаточно указать все ее возможное значения Свойства функции распределения - student2.ruи вероятности Свойства функции распределения - student2.ru , с которыми эти значения принимаются, Свойства функции распределения - student2.ru . При этом, поскольку события Свойства функции распределения - student2.ru , Свойства функции распределения - student2.ru , образуют полную группу событий, то

Свойства функции распределения - student2.ru (условие нормировки).

Подобную информацию о дискретной случайной величине записывают в виде таблицы:

Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru (2.1)
Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru

которую называют законом распределения дискретной случайной величины Свойства функции распределения - student2.ru или рядом распределения.

Закон распределения (2.1) является более удобной и наглядной вероятностной характеристикой, чем функция распределения, и его задание полностью эквивалентно заданию функции распределения.

Действительно, функция распределения дискретной случайной величины определяется по закону распределения (2.1) с помощью формулы:

Свойства функции распределения - student2.ru . (2.2)

Подробнее в случае конечного числа значений дискретной случайной величины формула (2.2) выглядит следующим образом:

Свойства функции распределения - student2.ru

График функции распределения дискретной случайной величины является кусочно-постоянным со скачками в точках Свойства функции распределения - student2.ruравными Свойства функции распределения - student2.ru , Свойства функции распределения - student2.ru . Это означает, что закон распределения (2.1) по функции распределения (2.2) всегда можно однозначно восстановить.

Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru

Вероятность попадания дискретной случайной величины Свойства функции распределения - student2.ru в любое борелевское множество на числовой прямой Свойства функции распределения - student2.ru определяется по формуле:

Свойства функции распределения - student2.ru .

Отметим, что через функцию распределения вероятность Свойства функции распределения - student2.ru в явном виде может и не выражаться.

2.3. Важнейшие дискретные случайные величины

и их законы распределения

1. Вырожденная случайная величина.

Любую константу С можно рассматривать как случайную величину, принимающую одно значение: Свойства функции распределения - student2.ru для любого Свойства функции распределения - student2.ru .

Закон распределения вырожденной случайной величины имеет вид:

Свойства функции распределения - student2.ru С
Свойства функции распределения - student2.ru

Выражение для функции распределения вырожденной случайной величины и ее график также имеют вырожденный вид:

Свойства функции распределения - student2.ru

F(x)
x
С
Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru

2. Индикаторная случайная величина.

С любым случайным событием А можно связать случайную величину вида:

Свойства функции распределения - student2.ru .

Случайная величина Свойства функции распределения - student2.ru называется индикатором случайного события А или индикаторной случайной величиной. Она принимает только два значения Свойства функции распределения - student2.ru и Свойства функции распределения - student2.ru , при этом

Свойства функции распределения - student2.ru , Свойства функции распределения - student2.ru .

Закон распределения индикаторной случайной величины имеет вид:

Свойства функции распределения - student2.ru
Свойства функции распределения - student2.ru q p

Аналитическое выражение и график функции распределения имеют вид:

Свойства функции распределения - student2.ru

x
Свойства функции распределения - student2.ru

3. Биномиальная случайная величина.

Биномиальной называется дискретная случайная величина Свойства функции распределения - student2.ru , представляющая собой число успехов в n независимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, с вероятностью успеха в одном испытании равной р.

Множество возможных значений биномиальной случайной величины:

Свойства функции распределения - student2.ru .

Вероятности, с которыми значения принимаются, определяются по формуле Бернулли:

Свойства функции распределения - student2.ru .

Закон распределения имеет вид:

Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru n  
Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru

и называется биномиальным законом распределения.

Условие нормировки при этом следует из формулы Бернулли или непосредственно из бинома Ньютона:

Свойства функции распределения - student2.ru .

(Записать аналитическое выражение для функции распределения и построить ее график самостоятельно).

Сокращенное обозначение для биномиальной случайной величины:

Свойства функции распределения - student2.ru .

4. Геометрическая случайная величина.

Геометрической называется дискретная случайная величина Свойства функции распределения - student2.ru , представляющая собой число испытаний, проводимых по схеме Бернулли, до появления первого успеха с вероятностью успеха в одном испытании равной р.

Геометрическая случайная величина имеет счетное множество возможных значений:

Свойства функции распределения - student2.ru .

Вероятности значений определяются по формуле:

Свойства функции распределения - student2.ru .

Закон распределения имеет вид:

Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru n Свойства функции распределения - student2.ru
Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru

и называется геометрическим законом распределения.

Условие нормировки при этом следует из формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Свойства функции распределения - student2.ru .

(Записать аналитическое выражение для функции распределения и построить ее график самостоятельно).

Сокращенное обозначение для геометрической случайной величины:

Свойства функции распределения - student2.ru .

5. Пуассоновская случайная величина.

Пуассоновской называется целочисленная случайная величина, множество возможных значений которой

Свойства функции распределения - student2.ru ,

а вероятности, с которыми значения принимаются, задаются формулой:

Свойства функции распределения - student2.ru .

Число Свойства функции распределения - student2.ru называется параметром пуассоновской случайной величины.

Закон распределения имеет вид:

Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru n Свойства функции распределения - student2.ru
Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru Свойства функции распределения - student2.ru

и называется пуассоновским законом распределения.

Условие нормировки при этом следует из разложения экспоненты в ряд Тейлора:

Свойства функции распределения - student2.ru .

(Записать аналитическое выражение для функции распределения и построить ее график самостоятельно).

Сокращенное обозначение для пуассоновской случайной величины:

Свойства функции распределения - student2.ru .

2.4. Непрерывные случайные величины.

Плотность вероятностей

Определение. Случайная величина Свойства функции распределения - student2.ru , заданная на вероятностном пространстве Свойства функции распределения - student2.ru , называется непрерывной или имеющей непрерывный закон распределения, если существует такая функция Свойства функции распределения - student2.ru , что для любого Свойства функции распределения - student2.ru функция распределения Свойства функции распределения - student2.ru случайной величины Свойства функции распределения - student2.ru допускает представление:

Свойства функции распределения - student2.ru . (2.3)

При этом функция Свойства функции распределения - student2.ru называется плотностью вероятностей (плотностью распределения вероятностей, плотностью распределения) случайной величины Свойства функции распределения - student2.ru .

Замечание. Для существования интеграла (2.3) предполагается, что плотность вероятностей Свойства функции распределения - student2.ru является функцией непрерывна всюду, за исключением, может быть, конечного числа точек.

Из определения следует:

1. Если случайная величина Свойства функции распределения - student2.ru является непрерывной, то ее функция распределения Свойства функции распределения - student2.ru непрерывна на всей числовой прямой.

(Это следует из свойств интеграла с переменным верхним пределом).

Следствие. Если случайная величина Свойства функции распределения - student2.ru является непрерывной, то

Свойства функции распределения - student2.ru для любого Свойства функции распределения - student2.ru . (2.4)

2. Если случайная величина Свойства функции распределения - student2.ru является непрерывной, то ее функция распределения Свойства функции распределения - student2.ru является дифференцируемой во всех точках, где плотность вероятностей Свойства функции распределения - student2.ru непрерывна, и при этом справедливо равенство:

Свойства функции распределения - student2.ru . (2.5)

(Этот факт также следует из свойств интеграла с переменным верхним пределом).

В точках, где плотность вероятностей Свойства функции распределения - student2.ru непрерывной не является, производная функции распределения Свойства функции распределения - student2.ru не существует. Это означает, что в этих точках функция распределения Свойства функции распределения - student2.ru , являясь функцией непрерывной, имеет излом, так что Свойства функции распределения - student2.ru . Но таких точек в соответствии с замечанием не более конечного числа и в них плотность вероятностей может быть задана произвольно (на величине интеграла (2.3) и на вероятностях событий, связанных со случайной величиной, в соответствии с (2.4) это никак не отражается).

Замечание. Говорят также, что равенство (2.5) выполняется «почти всюду» или «для почти всех Свойства функции распределения - student2.ru », понимая под этим справедливость равенства «везде» или «для всех Свойства функции распределения - student2.ru », кроме (возможно) Свойства функции распределения - student2.ru из некоторого множества нулевой меры (длины). Используя данную терминологию, можно сказать, что функция распределения непрерывной случайной величины является дифференцируемой почти всюду.

Геометрическая иллюстрация.

Свойства функции распределения - student2.ru

Из равенства (2.5) и определения производной следует, что

Свойства функции распределения - student2.ru .

Интерпретируя вероятность Свойства функции распределения - student2.ru как массу, приходящуюся на интервал Свойства функции распределения - student2.ru , отношение Свойства функции распределения - student2.ru представляет собой среднюю плотность массы на этом интервале, а в пределе при Свойства функции распределения - student2.ru получаем плотность массы в точке х. Это обстоятельство и оправдывает использование термина «плотность» для функции Свойства функции распределения - student2.ru .

Формулы (2.3) и (2.5) показывают, что между функцией распределения Свойства функции распределения - student2.ru непрерывной случайной величины и плотностью вероятностей Свойства функции распределения - student2.ru существует взаимно однозначное соответствие. Поэтому по аналогии с дискретным случаем плотность вероятностей можно называть законом распределения непрерывной случайной величины или непрерывным законом распределения.

Наши рекомендации