Свойства функции распределения

Л Е К Ц И Я

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для бакалавров направления 080100.62 «Экономика»

Тема № 2 . Случайные величины и их законы распределения .

Занятие № 2.5 Функция распределения вероятностей случайной величины.

Вид занятия: лекция (9)

Литература: Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб.пособие для вузов.-8-е изд.,стер.-М.:Высш.шк.,2002-479 с. (111-116).

ПЛАН

проведения занятия

№ п/п	Учебные вопросы занятия	Время, мин.
I. II	Вводная часть: Объявление темы, темы занятия. Постановка учебных целей занятия. Основная часть.	2-3
	1. Определение функции распределения. 2. Свойства функции распределения. 3. График функции распределения.
	Заключительная часть	2-3
	Подведение итогов занятия. Выдача задания на самостоятельную работу.

Материал основной части лекции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Вспомним, что дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим: он неприменим, например, для непрерывных случайных величин.

Действительно, рассмотрим случайную величину X, возможные значения которой сплошь заполняют интервал (а,b). Можно ли составить перечень всех возможных значений X? Очевидно, что этого сделать нельзя. Этот пример указывает на целесообразность дать общий спо­соб задания любых типов случайных величин. С этой целью и вводят функции распределения вероятностей случайной величины.

Пусть х—действительное число. Вероятность события, состоящего в том. что Х поймет значение, меньшее х. т. е.

Функцией распределения называют функцию F (х}, опре­деляющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т. е.

Геометрически это равенство можно истолковать так:

F (х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».

Теперь можно дать более точное определение непре­рывной случайной величины: случайную величину назы­вают непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с не­прерывной производной.

Свойства функции распределения

Свойство 1.Значения функции распределения принадлежат отрезку [a, b]:

Доказательство.Свойство вытекает из опреде­ления функции распределения как вероятности: вероят­ность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Свойство 2. F (х) —неубывающая функция, т. е.

По теореме сложения имеем

Отсюда

или

Так как любая вероятность есть число неотрицатель-

бовалось доказать.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом ин­тервале:

Это важное следствие вытекает из формулы (*), если

Пример. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет зна­чение. принадлежащее интервалу (0. 2):

Решение. Так как на интервале (0, 2), по условию,

То

Итак,

Следствие 2.Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Используя это положение, легко убедиться в справедли­вости равенств

Таким образом, не представляет интереса говорить о вероятности того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение,но имеет смысл рас­сматривать вероятность попадания ее в интервал, пусть даже сколь угодно малый. Этот факт полностью соответ­ствует требованиям практических задач. Например, инте­ресуются вероятностью того, что размеры деталей не выходят за дозволенные границы, но не ставят вопроса о вероятности их совпадения с проектным размером.

Заметим, что было бы неправильным думать, что ра-

классическим определением вероятности). Действительно, в результате испытания случайная величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности, это

довательно, вероятность его равна единице.

Следствие.Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то спра­ведливы следующие предельные соотношения: