Модельно-упреждающее управление

Модельно-упреждающее управление основывается на решении в реальном времени на каждом шаге управления задач идентификации и собственно управления при заданном интервале упреждения. При этом в качестве управляющего воздействия на реальный объект принимается управление, соответствующее первому шагу расчетной траектории управления от текущего момента времени.

Для более глубокого понимания модельно-упреждающего управления рассмотрим сначала упрощенные частные постановки задач, которые для наглядности будем формулировать в непрерывном и дискретном вариантах. На их основе будет сформулирована общая постановка задачи модельно-упреждающего управления.

Рассмотрим задачу идентификации линейного непрерывного одномерного объекта. Для данного случая динамика объекта управления может быть представлена во временной области интегральным соотношением

Модельно-упреждающее управление - student2.ru , (1)

где Модельно-упреждающее управление - student2.ru ‑ входное воздействие, Модельно-упреждающее управление - student2.ru ‑ весовая функция линейной нестационарной системы, Модельно-упреждающее управление - student2.ru ‑ выходная реакция объекта. При решении задачи идентификации в соотношении (1) известными считаются входной процесс Модельно-упреждающее управление - student2.ru и выходной процесс Модельно-упреждающее управление - student2.ru , неизвестной является весовая функция Модельно-упреждающее управление - student2.ru .

Текущая ошибка решения задачи идентификации

Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (2)

Соответственно квадрат ошибки

Модельно-упреждающее управление - student2.ru (3)

Введем оператор экспоненциального усреднения квадрата ошибки

Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (4)

Применение оператора усреднения (4) к выражению квадрата ошибки приводит к формуле экспоненциальной среднеквадратичной ошибки

Модельно-упреждающее управление - student2.ru , (5)

где Модельно-упреждающее управление - student2.ru , Модельно-упреждающее управление - student2.ru ,

Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (6)

Выражение (5) представляет собой квадратичный функционал относительно неизвестной функции Модельно-упреждающее управление - student2.ru . Минимум данного функционала достигается решением линейного интегрального уравнения

Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (7)

Решение линейного интегрального уравнения (7) можно выполнить с использованием численных методов, например, методом сеток путем сведения его к системе линейных алгебраических уравнений.

С этой целью проведем дискретизацию оси времени с некоторым шагом Модельно-упреждающее управление - student2.ru : Модельно-упреждающее управление - student2.ru , Модельно-упреждающее управление - student2.ru , Модельно-упреждающее управление - student2.ru , и введем обозначения: Модельно-упреждающее управление - student2.ru , Модельно-упреждающее управление - student2.ru , Модельно-упреждающее управление - student2.ru . Тогда интегральному уравнению (7) будет соответствовать система линейных алгебраических уравнений

Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (8)

Решение системы уравнений (8) определяет решение Модельно-упреждающее управление - student2.ru задачи идентификации весовой функции Модельно-упреждающее управление - student2.ru .

Как следует из материала пункта 3.4.3 раздела 3, постановка задачи идентификации по единственному критерию точности Модельно-упреждающее управление - student2.ru является некорректной. Здесь необходимо использовать дополнительные критерии, отражающие в том или ином смысле сложность искомого решения, позволяющие регуляризовать постановку задачи. В качестве такого критерия можно использовать, например, интегральную полосу пропускания системы

Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (9)

В этом случае задача идентификации ставится как задача минимизации функционала

Модельно-упреждающее управление - student2.ru , (10)

где Модельно-упреждающее управление - student2.ru ‑ коэффициент регуляризации: Модельно-упреждающее управление - student2.ru .

Интегральное уравнение, которому удовлетворяет искомая весовая функция

Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (11)

Дискретная форма уравнения (11)

Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (12)

Здесь Модельно-упреждающее управление - student2.ru ‑ символ Кронекера

Модельно-упреждающее управление - student2.ru

Система уравнений (12) имеет решение при любых входных данных Модельно-упреждающее управление - student2.ru , Модельно-упреждающее управление - student2.ru

Точность решения рассматриваемой задачи можно усилить, если априори будет известна номинальная весовая функция системы Модельно-упреждающее управление - student2.ru допустимой сложности, относительно которой текущая весовая функция Модельно-упреждающее управление - student2.ru представляет собой уклонение от номинала. Тогда в качестве критерия регуляризации постановки задачи можно использовать квадрат нормы уклонения от номинальной весовой функции

Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (13)

Регуляризующий функционал вида (13) можно назвать стабилизирующим, так как он осуществляет стабилизацию решения в окрестности заданного номинала.

Далее, аналогично предыдущему случаю ставится задача минимизации функционала

Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (14)

Соответствующее интегральное уравнение будет иметь вид

Модельно-упреждающее управление - student2.ru , (15)

система линейных алгебраических уравнений ‑

Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (16)

Задача идентификации в соответствии с уравнениями (15), (16) имеет гарантированную точность решения не хуже точности номинальной весовой функции при любых входных данных Модельно-упреждающее управление - student2.ru , Модельно-упреждающее управление - student2.ru .

Построенное выше решение задачи идентификации для одномерного динамического объекта допускает естественное обобщение на многомерный случай.

Соответственно поведение многомерного динамического объекта может быть описано соотношениями

Модельно-упреждающее управление - student2.ru , Модельно-упреждающее управление - student2.ru (17)

где Модельно-упреждающее управление - student2.ru ‑ вектор входного воздействия (управления), Модельно-упреждающее управление - student2.ru ‑ выходная реакция объекта по Модельно-упреждающее управление - student2.ru -ому выходу, Модельно-упреждающее управление - student2.ru ‑ вектор весовых функций линейной нестационарной системы по Модельно-упреждающее управление - student2.ru -ому выходу.

Выражения экспоненциальных среднеквадратических ошибок по Модельно-упреждающее управление - student2.ru -ому выходу будут иметь вид

Модельно-упреждающее управление - student2.ru (18)

Здесь

Модельно-упреждающее управление - student2.ru , Модельно-упреждающее управление - student2.ru , (19)

Модельно-упреждающее управление - student2.ru .

Интегральные уравнения, определяющие минимум экспоненциальных среднеквадратических ошибок,

Модельно-упреждающее управление - student2.ru , Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (20)

Соответствующие дискретные системы линейных алгебраических уравнений

Модельно-упреждающее управление - student2.ru , Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (21)

Регуляризованные уравнения по первому варианту

Модельно-упреждающее управление - student2.ru , Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (22)

Модельно-упреждающее управление - student2.ru , Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (23)

где Модельно-упреждающее управление - student2.ru ‑ единичная матрица.

Регуляризованные уравнения по второму варианту

Модельно-упреждающее управление - student2.ru , Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (24)

Модельно-упреждающее управление - student2.ru , Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (25)

__________________________________________

Рассмотрим решение задачи упреждающего управления. С этой целью сначала проведем анализ решений данной задачи при упрощающих предположениях.

В качестве объекта управления будем рассматривать линейную многомерную динамическую систему, поведение которой описывается соотношением

Модельно-упреждающее управление - student2.ru , (26)

где Модельно-упреждающее управление - student2.ru ‑ управление, Модельно-упреждающее управление - student2.ru ‑ выходная реакция объекта управления, Модельно-упреждающее управление - student2.ru ‑ матрица весовых функций объекта управления.

Предположим, что нам известна заданная траектория движения объекта ‑ Модельно-упреждающее управление - student2.ru . Тогда ошибка управления для времени упреждения Модельно-упреждающее управление - student2.ru будет определяться следующим образом

Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (27)

Соответственно квадрат нормы ошибки на интервале упреждения Модельно-упреждающее управление - student2.ru будет равен

Модельно-упреждающее управление - student2.ru (28)

В соответствии с вариационным исчислением минимум квадрата нормы ошибки (28) определяется решением уравнения

Модельно-упреждающее управление - student2.ru (29)

Из уравнения (29) тривиальным образом следует уравнение

Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (30)

Решение уравнения (30) является некорректным в том смысле, что в общем случае указанное решение имеет бесконечную мощность, кроме того, оно не является единственным.

Для регуляризации постановки задачи введем дополнительное ограничение на мощность управления

Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (31)

С учетом обоснований, приведенных в пункте 3.4.3 раздела 3, исходное уравнение (29) в конечном итоге может быть преобразовано к виду

Модельно-упреждающее управление - student2.ru (32)

Здесь Модельно-упреждающее управление - student2.ru ‑ коэффициент регуляризации.

Критическим вопросом рассмотренной методики является выбор регуляризующего функционала. В общем случае регуляризующий функционал может иметь произвольную форму при условии, что он в конечном итоге ограничивает с физической точки зрения сложность управления. С математической точки зрения регуляризующий функционал должен ограничивать норму искомого решения интегрального уравнения. При этом вид нормы может быть также произвольным.

С учетом сказанного, для примера, выберем в качестве регуляризующего функционал

Модельно-упреждающее управление - student2.ru , (33)

где Модельно-упреждающее управление - student2.ru ‑ матрица весовых функций некоторого динамического оператора, обратного динамическому оператору с матрицей весовых функций Модельно-упреждающее управление - student2.ru . Обратим внимание, что условное обозначение Модельно-упреждающее управление - student2.ru представляет здесь операцию обращения для динамического оператора, а не для матрицы его весовых функций. Операция обращения динамического оператора является отличной от операции обращения матрицы весовых функций.

С использованием функционала (33) задача упреждающего управления сводится к задаче минимизации штрафного функционала

Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (34)

В результате эквивалентных преобразований соответствующее интегральное уравнение, определяющее решение задачи минимизации функционала (34), будет иметь вид

Модельно-упреждающее управление - student2.ru (35)

Из (35) следует уравнение

Модельно-упреждающее управление - student2.ru (36)

Структурная схема расчетов в соответствии с уравнением (36) представлена на рис. 4.3.1.

Модельно-упреждающее управление - student2.ru
Модельно-упреждающее управление - student2.ru
Модельно-упреждающее управление - student2.ru
Модельно-упреждающее управление - student2.ru
Модельно-упреждающее управление - student2.ru
Модельно-упреждающее управление - student2.ru
Модельно-упреждающее управление - student2.ru
Рис. 4.3.1. Примерная расчетная схема упреждающего управления

Расчетная схема упреждающего управления (рис. 4.3.1) (при Модельно-упреждающее управление - student2.ru ) получилась совпадающей с классической схемой автоматического управления по отклонению. Таким образом, данная классическая схема автоматического управления получается здесь как частный случай решения задачи упреждающего управления при регуляризующем функционале вида (33). Этот результат отражает взаимосвязь задач управления на основе целенаправленного выбора решений в реальном времени и на основе автоматических систем. Оба подхода в общем случае приводят к одинаковым решениям и являются дуальными друг к другу[12].

Обратим внимание, что в схеме (рис. 4.3.1) оператор с матрицей весовых функций Модельно-упреждающее управление - student2.ru является неопределенным. Но именно он определяет всю динамику системы управления, именно определение данного оператора по критериям устойчивости и качества является центральной задачей классической теории управления. Следовательно, выбор вида регуляризующего функционала в задачах упреждающего управления имеет решающее значение для обеспечения устойчивости и качества управления в замкнутой системе. Однако регулярные процедуры выбора регуляризующего функционала в настоящее время не разработаны. Поэтому здесь необходимо основываться на инженерных эвристиках, методы моделирования и экспериментальные исследования.

Например, с точки зрения инженерных соображений оценка ошибки управления в одномерном случае может иметь вид

Модельно-упреждающее управление - student2.ru , (37)

где Модельно-упреждающее управление - student2.ru Модельно-упреждающее управление - student2.ru ‑ функция, выделяющая знак ошибки.

Подстановка ошибки вида (37) в уравнение (32) с учетом соответствующих изменений приводит к уравнению

Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (38)

Уравнению (38) соответствует структурная схема (рис. 4.3.2)

Модельно-упреждающее управление - student2.ru
Модельно-упреждающее управление - student2.ru
Модельно-упреждающее управление - student2.ru
Рис. 4.3.2. Вариант расчетной схемы упреждающего управления
Модельно-упреждающее управление - student2.ru
Модельно-упреждающее управление - student2.ru
Модельно-упреждающее управление - student2.ru
Модельно-упреждающее управление - student2.ru

Схема (рис. 4.3.2) представляет собой релейную систему автоматического управления.

Таким образом, разные математические постановки задач упреждающего, а также можно сказать и оптимального управления, приводят к разным схемам управления. При этом математические постановки задач по определению содержат в себе априорные условия, которые не всегда отражают объективную сторону решаемой задачи, а выбираются из соображений удобства использования математического аппарата. Так как априорные условия постановок задач существенно определяют структуру решения задач управления, то подобные решения являются конвенциональными[13]. Другими словами, подобные решения получены во многом, не исходя из технических требований, а из условных соглашений. Такими условными соглашениями являются, например, квадратичные критерии оптимальности, использование представлений типа пространства состояний в задачах оптимального управления и др. В итоге само понятие оптимальности систем управления, полученных аналитическими методами, становится конвенциональным, связанным с принятым подходом к решению задач. При этом конечным критерием проверки качества полученного аналитического решения является инженерная практика.

________________________________________

В общем случае объект управления находится под воздействием возмущений, которые обуславливают дополнительную ошибку управления. Задача управления в данном случае состоит в парировании возмущений с целью минимизации ошибки управления.

Будем полагать, что ошибка управления в данном случае состоит из двух компонент и описывается соотношениями

Модельно-упреждающее управление - student2.ru , (39)

где Модельно-упреждающее управление - student2.ru ‑ вектор возмущающих воздействий, Модельно-упреждающее управление - student2.ru ‑ матрица весовых функций, определяющих динамику влияния возмущений Модельно-упреждающее управление - student2.ru на выход объекта Модельно-упреждающее управление - student2.ru .

Соответственно квадраты норм ошибок определяются следующими аналитическими выражениями, приведенными ниже:

Модельно-упреждающее управление - student2.ru Модельно-упреждающее управление - student2.ru При решении задачи управления с учетом действия возмущений критерий оптимизации должен определяться на основе общего штрафного функционала

Модельно-упреждающее управление - student2.ru , (41)

где Модельно-упреждающее управление - student2.ru ‑ вес квадрата нормы ошибки по возмущению, Модельно-упреждающее управление - student2.ru .

Минимум квадрата нормы функционала (41) определяется решением уравнения

Модельно-упреждающее управление - student2.ru (42)

Отсюда следует

Модельно-упреждающее управление - student2.ru Модельно-упреждающее управление - student2.ru

или

Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (43)

Соотношение (43) позволяет наглядно выяснить суть оптимального управления по критерию минимума функционала (41). Так, при Модельно-упреждающее управление - student2.ru управление Модельно-упреждающее управление - student2.ru выбирается таким образом, чтобы выходная реакция объекта Модельно-упреждающее управление - student2.ru равнялась заданной траектории Модельно-упреждающее управление - student2.ru . При Модельно-упреждающее управление - student2.ru управление Модельно-упреждающее управление - student2.ru выбирается так, чтобы составляющая Модельно-упреждающее управление - student2.ru выходной реакции объекта, обусловленная действием управления Модельно-упреждающее управление - student2.ru , была равна с обратным знаком составляющей Модельно-упреждающее управление - student2.ru , обусловленной действием возмущений Модельно-упреждающее управление - student2.ru . В этом случае обе составляющие компенсируют друг друга, обеспечивая инвариантность к возмущениям. Другими словами, управление здесь парирует возмущения. Обе функции управления ‑ слежения за заданной траекторией и парирование возмущений, находятся в противоречии друг с другом. Мерой разрешения данного противоречия выступает здесь величина коэффициента Модельно-упреждающее управление - student2.ru .

Следует обратить внимание, что в классической теории управления инвариантность к возмущениям может быть обеспечена путем введения в канал управления дополнительной связи по возмущению с обратным знаком, т. е путем целенаправленного изменения структуры связей в объекте управления. В рассматриваемой задаче упреждающего управления этот способ не выводится аналитически, так как здесь априорно закладывается условие независимости переменных Модельно-упреждающее управление - student2.ru , Модельно-упреждающее управление - student2.ru . При необходимости учета указанного способа компенсации возмущений постановку задачи можно соответствующим образом изменить. Таким образом, структурные соображения и подход, основанный на решении экстремальных задач, здесь являются дополнительными друг другу.

Как и в ранее рассмотренном случае постановка задачи решения интегрального уравнения (43) является некорректной, поэтому необходимо использовать методы регуляризации. Для случая использования регуляризующего функционала (34) соответствующее интегральное уравнение будет иметь вид

Модельно-упреждающее управление - student2.ru (44)

______________________________________

Рассмотренные выше задачи упреждающего управления сводятся к решению систем линейных алгебраических уравнений. Дополнительно в инженерных расчетах на искомые управления могут накладываться ограничения в виде областей допустимых значений

Модельно-упреждающее управление - student2.ru , Модельно-упреждающее управление - student2.ru (45)

Введение ограничений вида (45) в задачах математического программирования не составляет принципиальных сложностей. Вычислительные методы совместного решения систем алгебраических уравнений и неравенств в настоящее время хорошо разработаны. В качестве примера отметим алгоритмы, которые были рассмотрены в пункте 2.4 раздела 2, настоящей работы. При структурном подходе к представлению схем автоматического управления введение ограничений на величины управлений также не представляет сложности. В этом случае вырабатываемые сигналы управления просто ограничиваются по величине в соответствии с заданными условиями.

_________________________________________

В общем случае постановка задачи модельно-упреждающего управления формулируется следующим образом[14].

Ставится задача найти управление технологическим процессом, которое осуществляет его перевод в желаемый режим в рамках заданных ограничений. Управление находится из условия минимума динамической целевой функции:

Модельно-упреждающее управление - student2.ru , (46а)

при заданных модельных ограничениях

Модельно-упреждающее управление - student2.ru (46b)

и при ограничениях в виде неравенств

Модельно-упреждающее управление - student2.ru (46c)

Целевая функция (46а) содержит четыре составляющих, конфликтующих друг с другом.

Первая составляющая

Модельно-упреждающее управление - student2.ru , Модельно-упреждающее управление - student2.ru ; (47)

где Модельно-упреждающее управление - student2.ru – выходная траектория процесса до текущего горизонта прогноза длиною Р;

Модельно-упреждающее управление - student2.ru – желаемая выходная траектория процесса до текущего горизонта прогноза.

Составляющая (47) оценивает отклонение выходной траектории управляемого процесса от желаемой траектории на интервале прогноза Модельно-упреждающее управление - student2.ru , где Модельно-упреждающее управление - student2.ru – текущий момент времени.

Вторая составляющая Модельно-упреждающее управление - student2.ru оценивает уклонение выходной траектории за пределы установленных жестких ограничений

Модельно-упреждающее управление - student2.ru (48)

Здесь Модельно-упреждающее управление - student2.ru , Модельно-упреждающее управление - student2.ru – нижняя и верхняя границы области допустимых значений выходной траектории процесса. Значения вектора Модельно-упреждающее управление - student2.ru определяются соотношениями

Модельно-упреждающее управление - student2.ru .

С учетом сказанного ограничения на область допустимых значений выходной траектории процесса могут быть представлены в виде

Модельно-упреждающее управление - student2.ru

Две следующие составляющие целевой функции определяют ограничения на допустимые управления процессом.

Составляющая

Модельно-упреждающее управление - student2.ru , Модельно-упреждающее управление - student2.ru , (49)

определяет уклонение траектории управления Модельно-упреждающее управление - student2.ru от желаемого установившегося значения управления Модельно-упреждающее управление - student2.ru в интервале времени Модельно-упреждающее управление - student2.ru до текущего горизонта управления длиною Модельно-упреждающее управление - student2.ru .

Последняя составляющая

Модельно-упреждающее управление - student2.ru , Модельно-упреждающее управление - student2.ru ,

определяет быстрые вариации управления, которые с целью регуляризации постановки задачи управления должны быть ограничены.

Величины всех указанных составляющих целевой функции вычисляются как нормы векторов. Так, норма отклонения Модельно-упреждающее управление - student2.ru определяется квадратичной формой

Модельно-упреждающее управление - student2.ru .

Остальные нормы уклонений могут быть определены аналогично:

Модельно-упреждающее управление - student2.ru ,

Модельно-упреждающее управление - student2.ru ,

Модельно-упреждающее управление - student2.ru .

Здесь Модельно-упреждающее управление - student2.ru , Модельно-упреждающее управление - student2.ru , Модельно-упреждающее управление - student2.ru , Модельно-упреждающее управление - student2.ru – положительно-определенные матрицы весовых коэффициентов. Весовые коэффициенты выбираются из предпочтений по минимизации соответствующих составляющих ошибок.

Так, весовые коэффициенты матрицы Модельно-упреждающее управление - student2.ru определяют важность минимизации составляющих отклонений выходной траектории процесса от заданной траектории. Коэффициенты матрицы Модельно-упреждающее управление - student2.ru определяют жесткость выполнения заданных ограничений на допустимую выходную траекторию процесса. С помощью матрицы Модельно-упреждающее управление - student2.ru можно задать ограничения на область допустимых управлений процессом. Например, можно задать терминальные условия, плавное вхождение в терминальный установившийся режим и др. Весовые коэффициенты матрицы Модельно-упреждающее управление - student2.ru ограничивают амплитуду и частоту вариаций управления. Тем самым они выполняют роль коэффициентов регуляризации постановки задачи управления.

Уравнения (46b) описывают динамику управляемого процесса в виде нелинейной динамической системы общего вида. В частных случаях могут быть использованы самые разнообразные модели.

Например, в линейном случае модель динамических процессов может быть следующей

Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (50)

Здесь Модельно-упреждающее управление - student2.ru – значение вектора выходных параметров управляемого процесса на текущий момент времени Модельно-упреждающее управление - student2.ru ; Модельно-упреждающее управление - student2.ru – текущее значение вектора управляемых параметров; Модельно-упреждающее управление - student2.ru – текущее значение вектора измеряемых неуправляемых параметров; Модельно-упреждающее управление - student2.ru – текущее значение вектора неизмеряемых неуправляемых параметров; Модельно-упреждающее управление - student2.ru – текущее значение вектора ошибок измерения выходных параметров.

Динамические операторы Модельно-упреждающее управление - student2.ru в выражении (50) представляют собой разностные операторы по структуре аналогичные оператору, приведенному ниже:

Модельно-упреждающее управление - student2.ru ,

где Модельно-упреждающее управление - student2.ru – оператор временного запаздывания на один шаг; Модельно-упреждающее управление - student2.ru – матрицы коэффициентов.

Из (50) следует

Модельно-упреждающее управление - student2.ru . (51)

Модель (51) называется авторегрессионной моделью с внешними входами. Неизвестные матрицы коэффициентов данной авторегрессионной модели могут быть определены на основе известных методов, например, рассмотренным выше методом наименьших квадратов.

В целом задача модельно-упреждающего управления (56) относится к классу задач нелинейного программирования. Методы решения подобных задач в настоящее время достаточно разработаны, существует множество эффективных алгоритмов и программ.

Наши рекомендации