Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью

а) Найти Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru .

Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью. Для этого найдем пределы числителя и знаменателя дроби. Функции Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru и Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru являются бесконечно большими. Поэтому, Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru .

Следовательно, имеем дело с неопределенностью вида Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru .

Для раскрытия этой неопределенности и использовании теоремы о пределе отношения двух функций выделим в числителе и в знаменателе Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru в старшей для числителя и знаменателя степени в качестве сомножителя и сократим дробь.

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Ответ. 0.

Вычислить пределы функций.

а) Найти Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru .

Решение.Для раскрытия неопределенности Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru в этом случае, нужно умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, а затем сократить дробь на общий множитель.

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Ответ. Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru .

Вычислить пределы функций.

а) Найти Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru .

Решение.Для раскрытия неопределенности Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru в этом случае, нужно выделить первый замечательный предел: Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru Ответ. k

б) Найти Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru .

Решение. Для раскрытия неопределенности Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru в этом случае, нужно произведение преобразовать в частное, то есть неопределенность Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru свести к неопределенности Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru или Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru .

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Выделяем первый замечательный предел, то есть, умножаем числитель и знаменатель на Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru . Получаем,

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru .

Ответ. Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru .

Вычислить пределы функций.

а) Найти Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru .

Решение.Для раскрытия неопределенности Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru в этом случае, нужно выделить второй замечательный предел: Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru .

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Ответ. Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru .

б) Найти Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Решение.Для раскрытия неопределенности Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru в этом случае, нужно выделить второй замечательный предел: Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru .

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Ответ. Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru .

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. Вычисление предела функции, раскрытие простейших неопределенностей.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

научиться раскрывать неопределенность вида Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru путем разложения на множители; научиться раскрывать неопределенность вида Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , вызванную присутствием корня; научиться вычислять пределы при Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , в том числе путем раскрытия неопределенностей вида Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru и Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru .

Методические указания к выполнению практической работы.

Теоретическая часть.

Раскрытие неопределенности вида Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Теоретическая часть:

Способы разложения на множители:

1) Вынесение общего множителя за скобку: Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

2) Формулы сокращенного умножения:

  • Разность квадратов Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru
  • Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru
  • Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

3) Разложение квадратного трехчлена на множители:

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , где Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru корни квадратного уравнения

4) Способ группировки

  • Образовать группы, между ними знак «+»,
  • В каждой группе вынести общий множитель за скобки,
  • Найти и вынести за скобки общий множитель обеих групп, в результате получим произведение множителей.

Разбор решения одного варианта:

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru  

Решение:

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru подстановка предельного значения Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru дает неопределенность вида Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru .

Чтобы раскрыть эту неопределенность надо разложить числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель «х» за скобку, в знаменателе заметим, что Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru применим формулу разность квадратов

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

сократим на множитель, приводящий к неопределенности, это х-15

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

подстановка Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru дает

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru тогда

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

В числителе вынесем общий множитель «x» за скобки, причем заметим, что 121= Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , и применим формулу разность квадратов Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

А в знаменателе увидим формулу сокращенного умножения : квадрат первого , минус удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Сократим на множитель (х-11)

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Подставив предельное значение Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

В числителе применим формулу разность кубов Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , а в знаменателе разложим квадратный трехчлен на множители

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , тогда

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

сократим на Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru и подставим Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , получим

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

в числителе разложим на множители способом группировки

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

А в знаменателе вынесем за скобки общий множитель «х»

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

А затем разложим квадратный трехчлен на множители:

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

сократим на Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru и подставим Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Раскрытие неопределенности вида Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Теоретическая часть:

Сопряженными называются множители Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , причем их произведение дает формулу разность квадратов Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Согласно свойств степени и корня: Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Пример 1: Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru = Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Разбор решения одного варианта:

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru  

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

предел знаменателя дает
Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

то имеет место неопределенность вида Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , которая вызвана присутствием корня. Раскроем неопределенность умножением числителя и знаменателя на сопряженный множитель к числителю

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

применив в числителе формулу разность квадратов

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru имеем:

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

при возведении квадратного корня в квадрат корень исчезает

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

сократив на Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru - множитель, приводящий к неопределенности и подставив предельное значение Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru имеем

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

подстановка Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru дает неопределенность вида Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , вызванную присутствием корня, поэтому умножаем на сопряженный множитель к числителю

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

применив в числителе, формулу разность квадратов Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Посчитав, в числителе подобные, имеем

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Сократим числитель и знаменатель на множитель x-15

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

подставим Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , тогда

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

подстановка предельного значения Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru дает неопределенность вида Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , умножаем числитель и знаменатель на сопряженный множитель к знаменателю

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

в знаменателе формула разность квадратов Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

вынесем в числителе общий множитель «х» за скобку, а в знаменателе вычислим

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

сократим на Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru и подставим Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru имеем

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

умножаем на сопряженный к числителю, а затем в числителе применяем формулу разность квадратов Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru :

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

в числителе квадратный трехчлен, разложим на множители по формуле:

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , где Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

сократим на Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru и подставим Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычисление предела при Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru .

Теоретическая часть:

  1. Предел бесконечно малой равен нулю.
  2. Если предел величины равен нулю, то эта величина есть бесконечно малая.
  3. Предел бесконечно большой величины равен бесконечности.
  4. Если Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru - величина бесконечно малая, то обратная ей величина Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru является бесконечно большой.
  5. Если Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru - величина бесконечно большая, то обратная ей величина Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru является бесконечно малой.
  6. Предел числа есть само число.
  7. Произведение постоянной величины на бесконечно малую есть величина бесконечно малая.

Разбор решения одного варианта:

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru   Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru   Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru   Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru   Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru  

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru первые два слагаемых Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru пределов не имеют, поэтому имеет место неопределенность Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , чтобы её раскрыть, надо

вынести за скобку большую степень переменной, входящей в пример:

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru величины Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

предел числителя и предел знаменателя есть величины бесконечно большие Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru имеет место неопределенность вида Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , раскроем её делением числителя и знаменателя на наибольшую степень переменной т.е. на Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru и сократим, тогда

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

помня, что при Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , имеем

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

делим каждое слагаемое на Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru сократим

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru имеем:

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

делим числитель и знаменатель на старшую степень переменной, это Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru :

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

тогда предел числителя равен 4, Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru 0, т.е. в знаменателе бесконечно малая величина Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru вся дробь есть величина бесконечно большая, т.е. = Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru .

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

умножим на сопряженный

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

при Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , имеем Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , раскроем путем деления на Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru , т.к. Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru :

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

тогда: Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью - student2.ru

Наши рекомендации