Вычислить пределы функций.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. Предел и непрерывность функции.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: исследовать функцию на непрерывность в точках;

находить точки разрыва и определять их род;

научиться раскрывать неопределенность вида путем разложения на множители; научиться раскрывать неопределенность вида , вызванную присутствием корня; научиться вычислять пределы при , в том числе путем раскрытия неопределенностей вида и ; научится раскрывать неопределенность с помощью первого замечательного предела, вычислять пределы, содержащие тригонометрические функции; научиться раскрывать неопределенность вида путем применения второго замечательного предела.

Методические указания к выполнению практической работы.

Теоретическая часть.

Раскрытие неопределенности вида путем разложения на множители:

Способы разложения на множители:

1) Вынесение общего множителя за скобку:

2) Формулы сокращенного умножения:

Разность квадратов

3) Разложение квадратного трехчлена на множители:

, где корни квадратного уравнения

4) Способ группировки

Образовать группы, между ними знак «+»,

В каждой группе вынести общий множитель за скобки,

Найти и вынести за скобки общий множитель обеих групп, в результате получим произведение множителей.

Раскрытие неопределенности вида вызванная присутствием корня:

Сопряженными называются множители , причем их произведение дает формулу разность квадратов

Согласно свойств степени и корня:

Пример 1: =

Вычисление пределов при , в том числе путем раскрытия неопределенностей вида и :

Предел бесконечно малой равен нулю.

Если предел величины равен нулю, то эта величина есть бесконечно малая.

Предел бесконечно большой величины равен бесконечности.

Если - величина бесконечно малая, то обратная ей величина является бесконечно большой.

Если - величина бесконечно большая, то обратная ей величина является бесконечно малой.

Предел числа есть само число.

Произведение постоянной величины на бесконечно малую есть величина бесконечно малая.

Вычисление пределов, содержащих тригонометрические функции:

Предел отношения синуса бесконечно малого угла к самому углу, есть величина постоянная, равная единице, т.е.

Раскрытие неопределенности вида путем применения второго замечательного предела:

Предел суммы единицы и бесконечно малой величины, в степени бесконечно большой, есть величина постоянная, равная числу Эйлера .

Решение типового варианта практической работы.

Вычислить пределы функций.

а) Найти

Решение.Для вычисления данного предела подставим значение в функцию, стоящую под знаком предела. Получим,

.

Ответ. -3.

б) Найти .

Решение.Для раскрытия неопределенности в этом случае, нужно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь на общий множитель.

Ответ. -9.