Основные теоремы о пределах функций.

Теорема 1.Функция у = у(х) не может иметь более одного предела при х→ Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru .

Доказательство.Предположим противное, пусть функция у = у(х) при х→ Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru имеет два предела А1≠А2. По свойствам бесконечно малых функций у(х)=А1 + a1(х) и у(х)=А2+a2(х), где a1(х), a2(х) ─ б.м.ф. при х→ Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru . Тогда А1 + a1(х) = А2 + a2(х) или А1 – А2 = a1(х) – a2(х). Но последнее равенство невозможно, т.к. в левой части стоит постоянная, отличная от нуля, а в правой ─ бесконечно малая функция.

Теорема 2.Если каждая из функций у = у(х), z = z(x) имеет предел при х→ Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru , то сумма, разность, произведение этих функций также имеют пределы, причём

1) Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru (у(х) ± z(x)) = Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru y(x) ± Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru z(x);

2) Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru (y(x) × z(x)) = Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru y(x) × Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru z(x),

если кроме того, Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru z(x) ≠ 0, то частное Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru имеет предел, причём

3) Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru = Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru .

Доказательство.Пусть Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru y(x) = А, Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru z(x) = В.

Тогда по свойствам б.м.ф. у(х)=А + a(х), z(x) = B + b(x), где a(х), b(х) ─ б.м.ф. при х→ Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru . Получаем:

1) у(х) ± z(x) = (А ± В) + (a(х) ± b(х)). По свойствам б.м.ф. a(х) ± b(х) ─ б.м.ф., поэтому Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru (у(х) ± z(x)) = А ± В, т.е. Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru (у(х) ± z(x)) = Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru y(x) ± Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru z(x).

2) y(x) × z(x) = (А + B + b(x) = А×В + a(х) ×B + А× b(x) + a(х)×b(x). По свойствам б.м.ф. функция a(х) ×B + А× b(x) + a(х)×b(x) ─ б.м.ф. при х→ Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru .

Поэтому Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru (y(x) × z(x)) = АВ = Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru y(x) × Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru z(x).

3) Пусть В≠0. Рассмотрим разность

Основные теоремы о пределах функций. - student2.ruОсновные теоремы о пределах функций. - student2.ru Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru .

По свойствам б.м.ф. функция Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru ─ б.м.ф. при х→ Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru .

Рассмотрим функцию Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru = Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru .

Очевидно, что Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru = Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru .

Это означает, что для e, равного, например, Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru найдутся х, расположенные вокруг Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru такие, что │ Основные теоремы о пределах функций. - student2.ruОсновные теоремы о пределах функций. - student2.ru │< Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru , т.е.

Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru < Основные теоремы о пределах функций. - student2.ruОсновные теоремы о пределах функций. - student2.ru < Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru , Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru < Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru < Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru .

Но это означает, что функция Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru ограничена. Тогда по свойствам б.м.ф. произведение

Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru ─ б.м.ф. при х→ Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru .

Обозначим её a1(х), т.е. Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru = a1(х). Тогда Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru + a1(х). По свойствам б.м.ф. Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru = Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru = Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru .

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак прела, т.е. если

с = const, то Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru (с×у(х)) = с Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru у(х).

Следствие 2.Если Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru у(х) = А, то для любого натурального числа m

Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru (у(х))m = ( Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru у(х))m = Am.

Теорема 3.Пусть три функции u = u(x), v = v(x), y = y(x) определены в некотором промежутке, содержащем точку Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru . Если для любого х из этого промежутка выполняется неравенства

u(x) £ y(x) £ v(x)

и функции u = u(x), v = v(x) имеют одинаковые пределы при х→ Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru , то функция у = у(х) имеет тот же предел при х→ Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru .

Доказательство.Пусть Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru u(x) = Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru v(x) = A.

Т.к. u(x) £ y(x) £ v(x), то u(x)−А £ y(x)−А £ v(x)−А.

По определению предела функции "e>0 существуют d1>0 и d2>0 такие, что из неравенств 0<│х − Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru │<d1 следует │u(x)−A│<e, а из неравенств 0<│х − Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru │<d2 следует │v(x)−A│<e. Обозначим d = min{d1,d2}. Тогда для х, удовлетворяющих неравенствам 0<│х − Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru │<d следует −e < u(x)−A < e и −e < v(x)−A < e. Поэтому из неравенств u(x)−А £ y(x)−А £ v(x)−А следует −e < у(x)−A < e, т.е. │у(x)−A│<e. Это означает, что Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru у(х) = А.

Теорема 4.Пусть функция у = f(x) определена в некотором промежутке, содержащем точку Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru . Если при х→ Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru функция у = f(x) имеет положительный (отрицательный) предел, то найдётся такой промежуток вокруг точки Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru , что для всех х из этого промежутка функция положительна (отрицательна).

Доказательство.Пусть Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru f(x) = А. Это означает, что "e>0 можно указать такое число d>0, что при всех х, удовлетворяющих условию 0<│х− Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru │<d, выполняется

Неравенство │f(x)−A│<e, т.е. −e < f(x)−A < e.

Если А>0, то взяв e = Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru А из неравенства A− e <f(x) получим f(x)>A−e= =A− Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru A = Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru A>0, т.е. f(x)>0 при −d<x− Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru <d, т.е. при Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru −d<x<d+ Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru .

Если А<0, то взяв e = − Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru А, из неравенства f(x)< A+e получим f(x)< A+e = =A− Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru A = Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru A<0, т.е. f(x)<0 при Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru −d<x<d+ Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru .

Эта теорема называется теоремой о сохранении знака функции, имеющей предел.

Теорема 5. Если функции u(x), v(x) определены в некотором промежутке, содержащем точку Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru , и для всех х из этого промежутка, кроме х= Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru , выполняется неравенство u(x)<v(x), причём функции u(x) и v(x) имеют пределы при х→ Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru . Тогда Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru u(x) £ Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru v(x).

Доказательство.Пусть Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru u(x) = А, Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru v(x) = В. Положим, что А>B. По теореме2 Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru (u(x)−v(x)) = А−В>0. По теореме 4 найдётся промежуток вокруг точки Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru такой, что для всех х из этого промежутка u(x)−v(x)>0, т.е. u(x)>v(x), что противоречит условию.

Следовательно, предположение неверно и А£В, т.е. Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru u(x)£ Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru v(x).

Замечательные пределы.

Определение.Будем говорить, что отношение двух функций f(x)/g(x) есть неопределённость вида Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru(или Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru ) при х→ Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru , если числитель и знаменатель дроби ─ бесконечно малые функции (бесконечно большие функции) при х→ Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru . В этом случае о пределе отношения f(x)/g(x) при х→ Основные теоремы о пределах функций. - student2.ru ничего определённого сказать нельзя: он может быть равен нулю, бесконечности, числу, отличному от нуля, а может и вовсе не существовать. Раскрыть эти неопределённости─ значит вычислить предел отношения f(x)/g(x), если он существует, или доказать, что он не существует. Для раскрытия неопределённостей применяют различные методы.



Наши рекомендации