Изучение затухающих колебаний

1 Дифференциальное уравнение RLC-контура

2 Затухающие колебания

3 Параметры затухающих колебаний

Основные понятия по теме

На рисунке 10.1 показана электрическая цепь, используемая для изучения свободных электромагнитных колебаний. Ключ К сначала приводят в положение 1, при этом происходит зарядка конденсатора от источника постоянного напряжения ε0. Затем ключ К переводят в положение 2, при этом источник ε0 отключается от цепи, однако цепь остается замкнутой, и в ней возникают свободные электромагнитные колебания. При таких колебаниях происходит обмен энергией между конденсатором и катушкой, и этот процесс периодически повторяется, сопровождаемый тепловыми потерями. Другими словами, энергия электрического поля преобразуется в энергию магнитного поля и обратно, при этом часть энергии рассеивается в виде тепла.

ε0
Изучение затухающих колебаний - student2.ru

Рисунок 10.1 – RLC-контур

Для такой цепи, содержащей R-, L- и C-элементы (рисунок 10.1), в которой происходят свободные (в отсутствие внешнего напряжения) электромагнитные колебания, согласно второму закону Кирхгофа, можно записать:

Изучение затухающих колебаний - student2.ru

Здесь UC– напряжение на конденсаторе,

Изучение затухающих колебаний - student2.ru э.д.с. самоиндукции, возникающая в катушке.

Выражая UCчерез заряд q, получим

Изучение затухающих колебаний - student2.ru

Дифференцируя по времени и учитывая, что сила тока равна

Изучение затухающих колебаний - student2.ru

получаем:

Изучение затухающих колебаний - student2.ru .

Вводя собственную частоту колебательной системы Изучение затухающих колебаний - student2.ru и коэффициент затухания γ = R/2L, перепишем уравнение в виде

Изучение затухающих колебаний - student2.ru .

Здесь точки обозначают дифференцирование по времени.

Решая это уравнение, можно показать, что, в зависимости от соотношения между параметрами ω0 и γ, возможны следующие типы колебаний в контуре:

I
I1
I2  
t1  
t2
t
I0
а) затухающие колебания, которые имеют место в случае ω 02 γ2 > 0. При этом зависимость силы тока от времени имеет вид I = I0 e-γt×cos(ωt+δ), где Изучение затухающих колебаний - student2.ru – частота, δ – начальная фаза колебаний, I0 – их начальная амплитуда (рисунок 10.2).

Рисунок 10.2 – График затухающих колебаний в контуре Изучение затухающих колебаний - student2.ru

Величины δ и I0 могут быть определены из начальных условий. Для характеристики затухающих колебаний вводятся также такие величины, как период колебаний («повторения нулей»)

Изучение затухающих колебаний - student2.ru ,

логарифмический декремент затухания, который показывает уменьшение амплитуды за период колебаний

Изучение затухающих колебаний - student2.ru ,

и добротность контура, физический смысл которой заключается в отношении запасенной в контуре энергии к энергии потерь за период колебаний

Изучение затухающих колебаний - student2.ru

Здесь In и In+1 – значения силы тока в моменты времени, отстоящие друг от друга на один период колебаний;

б) апериодическое затухание силы тока в контуре, которое наблюдается в случае ω02 – γ2 < 0. При этом сила тока монотонно убывает до нуля по закону Изучение затухающих колебаний - student2.ru , где Изучение затухающих колебаний - student2.ru и Изучение затухающих колебаний - student2.ru , А и В – величины, определяемые из начальных условий (рисунок 10.3).

t
I
А+В

Рисунок 10.3 – Апериодические затухания силы тока в контуре

в) критический режим изменения силы тока, который имеет место при выполнении соотношения ω02 – γ2 = 0 и представляет собой предельный случай рассмотренных выше затухающих колебаний и апериодического режима. При этом зависимость силы тока от времени можно записать в виде

I = (A + Bt)e γt,

где значения постоянных А и В определяются из начальных условий. График зависимости в случае А = 0, В ¹ 0 и А ¹ 0 , В = 0 представлен на рисунке 10.4.

Сопротивление Изучение затухающих колебаний - student2.ru , при котором выполняется соотношение

ω02 - γ2 = 0, называется критическим сопротивлением.

В=0  
А=0
t
I
 

Рисунок 10.4 – График зависимости Изучение затухающих колебаний - student2.ru

в случаях А ¹ 0, В = 0 и А = 0, В ¹ 0 при критическом режиме

Если колебательный процесс изучать в системе координат I–U, где I – сила тока в контуре, U – напряжение на конденсаторе, то плоскость I–U называют фазовой плоскостью, а кривую, изображающую такую зависимость, называют фазовой кривой (рисунок 10.5).

При затухающих колебаниях амплитуда напряжения и силы тока в контуре убывает, а фазовая кривая превращается в спираль, приближающаяся к фокусу 0. При R ≥ Rкр колебательный процесс прекращается, и спираль превращается в окружность.

I
Изучение затухающих колебаний - student2.ru
U
U0

Рисунок 10.5 – Колебательный процесс на фазовой плоскости

Вопросы для самоконтроля

1 Приведите уравнение, описывающее затухающие колебания в контуре, содержащем R, L и C.

2 Охарактеризуйте следующие параметры: коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания, добротность контура.

3 Приведите определение критического сопротивления Rкр контура.

Лабораторная работа 10

Наши рекомендации