Изучение механических затухающих колебаний

Цель работы: определить основные характеристики затухающих механических колебаний.

Приборы и принадлежности: специальная установка, снабженная секундомером, счетчиком числа колебаний и шкалой-линейкой.

Теоретические сведения

Всякое движущееся тело встречает сопротивление своему движению со стороны окружающей его среды и других тел, с которыми оно во время движения соприкасается. Иначе говоря, на любое движущееся тело действуют силы трения. Природа этих сил может быть различной, но в результате их действия всегда происходит превращение механической энергии во внутреннюю энергию трущихся тел, т.е. в энергию теплового движения их частиц (диссипация энергии).

Силы трения довольно сложно зависят от скорости, но при колебаниях, когда скорость тела по абсолютной величине мала, можно считать, что силы трения пропорциональны скорости движения. Поэтому уравнение движения при колебаниях груза будет иметь следующий вид:

, (1)

где m - масса колеблющегося тела; - приобретаемое им ускорение; - упругая сила; - сила трения; k - коэффициент упругости; х - смещение системы из положения равновесия; r - коэффициент трения, зависящий от свойств среды, формы и размеров движущегося тела; - скорость движения.

Заменив и и перенеся все члены в уравнении (1) в левую часть, получим

. (2)

Это уравнение носит название дифференциального уравнения свободных затухающих колебаний в среде с линейным сопротивлением.

Решением дифференциального уравнения (2) является следующая функция времени:

где А₀ – начальная амплитуда колебаний; е –экспонента; t – время колебательного движения; - циклическая (круговая) частота колебаний; - начальнаяфаза колебаний; - коэффициент затухания, который определяется как

.

Коэффициент затухания определяет быстроту убывания амплитуды колебаний. Частота колебаний

называется собственной циклической частотой колебаний диссипативной системы, – циклическая частота свободных незатухающих колебаний пружинного маятника в отсутствие сил трения. Условным периодом затухающих колебаний называют величину

. (3)

Из формулы (3) видно, что период затухающих колебаний несколько больше периода колебаний той же системы в отсутствие затухания. Это связано с некоторым замедлением движения, которое обусловливают силы сопротивления. На рис. 1 приведен график затухающих колебаний, представляющий сочетание экспоненциальной функции (затухающей) и периодической функции соs(ωt+φ₀).

Рис. 1

Отношение амплитуд затухающего колебания, отстоящих друг от друга на интервал времени равный периоду, постоянно во все время колебаний,

.

Натуральный логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания

.

Логарифмический декремент затухания определяет число полных колебаний маятника за время затухания этих колебаний. Логарифмический декремент затухания связан с добротностью периодичного движения маятника:

.

Если обозначить через τ промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшится в е раз, тогда

.

Откуда или .

Следовательно, коэффициент затухания есть физическая величина, обратная промежутку времени τ, в течение которого амплитуда убывает в е раз. Время τ называют временем релаксации.

Обозначив через N_e число полных колебаний, за которое амплитуда уменьшится в е раз, находим

τ = N_eT

Следовательно, логарифмический декремент затуханий есть физическая величина, обратная числу колебаний N_e, по истечении которых амплитуда убывает в е раз. Графически это представлено на рис. 2.

Рис. 2

Описание установки

На передней панели прибора (рис. 3, а) три клавиши: сеть 1 – выключатель сети; пуск 2 – запуск счетчика колебаний и секундомера; стоп 3 – остановка счетчика колебаний и секундомера. На стойке 4 подвешен металлический шарик 5. Амплитуду колебаний шарика измеряют по шкале 6. Установка позволяет определить характеристики затухающих колебаний при различных силах сопротивления.

Для изменения силы сопротивления плоскость колебаний шарика ручкой 7 (рис.3, б) можно отклонить от вертикального положения на угол α, который измеряют по шкале 8. Шарик, совершающий колебательные движения, начинает кататься по плоскости установки. Для отклоненной плоскости сила сопротивления складывается из двух сил: силы вязкого трения шарика в воздухе, зависящей от скорости, и постоянной силы трения качения.

а	б
Рис. 3

Рис. 4

Следует отметить, что при отклонении от вертикали плоскости колебаний на угол α изменяется период колебаний. Это связано с изменением квазиупругой силы F1 (рис. 4). В предельном случае, когда угол α = 90°, колебания совершаться системой не будут.   .

Порядок выполнения работы

1. Включить установку в сеть и проверить работу регистрирующих систем: электронного секундомера и счетчика числа колебаний. Если требуется, то выровнять установку с помощью регулировочных болтов.

2. Из рис. 2 исходя из начальной амплитуды А₀ определить амплитуду А_τ последнего колебания, при котором она уменьшится в е раз. Данные записать в табл.

3. Выставить угол наклона плоскости колебаний шарика в пределах 5° < α < 15° .

4. Отклонить шарик от положения равновесия на А₀ и отпустить. Когда амплитуда колебаний шарика уменьшиться до А_τ нажать на кнопку «стоп». Записать число колебаний N_e и время τ в табл..

5. Пятикратно выполнить пятикратно измерения при неизменной геометрии эксперимента. Данные записать в таблицу.

6. Изменить значение угла наклона плоскости колебаний шарика в пределах 20° < α < 35°.

7. Провести пятикратные измерения согласно п. 4. Результаты измерений занести в табл.

8. Вычислить логарифмический декремент затухания, период колебаний, коэффициент затухания и коэффициент трения по формулам

; ; ; .

Таблица

mшара= , кг
Α	n	A0	Aτ	Ne	τ		T		r
	=	=	=	=	=	=
Α	n	A0	Aτ	Ne	τ		T		r
	=	=	=	=	=	=

Контрольные вопросы

1.Какие колебания называются свободными затухающими колебаниями?

2. От чего зависит сила сопротивления среды при движении тела в ней?

3. Какой физический смысл имеет коэффициент сопротивления среды?

4. Как записывают дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний, и уравнение зависимости смещения от времени?

3. Как зависит амплитуда затухающих колебаний от времени?

4. Каким соотношением связаны коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания?

6. Объяснить физический смысл коэффициента затухания и времени релаксации. Какая связь между ними?

7. Каким образом изменяются коэффициенты k и r , а также период колебаний системы Т при увеличении угла наклона плоскости колебаний?

8. Какие опытные данные нужно иметь для вычислений логарифмического декремента затухания и коэффициента сопротивления среды?

9. Нарисовать качественные сравнительные графики изученных затухающих колебаний.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8